Séance 9 - Droites remarquables dans un triangle

Sommaire

I- Médiatrices d’un triangle

1-1/ La médiatrice des côtés (Rappel)

1-2/ Propriétés

1-3/ Médiatrices d’un triangle

1-4/ Propriétés

1-5/ Remarques importantes

II- Bissectrices d’un triangle

2-1/ Bissectrices d’un angle (Rappel)

2-2/ Bissectrices d’un triangle

III- Hauteurs d’un triangle

3-1/ Définition

3-2/ Propriété

IV- Médiane d'un triangle

4-1/ Définition

4-2/ Propriété

V- Triangles particuliers

5-1/ Triangle rectangle

5-2/ Triangle isocèle

5-3/ Triangle équilatéral

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Médiatrices d’un triangle

1-1/ La médiatrice des côtés (Rappel)

Définition

la médiatrice d’un segment $\left[AB\right]$ est la droite qui est perpendiculaire à la droite $\left(AB\right)$ et qui passe par le milieu du segment $\left[AB\right]$

Exemple

Si $\left(d\right)$ est  médiatrice de $\left[AB\right]$, alors : $\left\{\begin{array}{l}\left(d\right)\perp \left(AB\right)\\ I milieu de \left[AB\right]\end{array}\right.$

Remarques

La médiatrice d’un segment $\left[AB\right]$ est l’axe de symétrie du segment $\left[AB\right]$.

Si $\left(d\right)$ médiatrice de $\left[AB\right]$, alors $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $\left(d\right)$.

I- Médiatrices d’un triangle

1-2/ Propriétés

Propriété directe

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment :

Propriété réciproque

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment :

I- Médiatrices d’un triangle

1-3/ Médiatrices d’un triangle

Définition

La médiatrice d’un triangle c’est la médiatrice de l’un de ses côtés.

Chaque triangle a trois médiatrices.

Exemple

Soit $ABC$ un triangle.

$\left(\Delta \right)$ est la médiatrice du côté $\left[BC\right]$

On appelle $\left(\Delta \right)$ aussi La médiatrice du triangle ABC.

I- Médiatrices d’un triangle

1-4/ Propriétés

Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point : On dit qu’elles sont concourantes.

Ce point commun est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle.

On dit que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.

Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

I- Médiatrices d’un triangle

1-5/ Remarques importantes

Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.

1er cas

Si les 3 angles du triangle sont aigus, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est à l'intérieur du triangle :

2nd cas

Si l'un des angles est obtus, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est à
l'extérieur du triangle :

II- Bissectrices d’un triangle

2-1/ Bissectrices d’un angle (Rappel)

Définition

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure.

Exemple

$\left[OI\right)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{xOy}$.

II- Bissectrices d’un triangle

2-2/ Bissectrices d’un triangle

Définition

La bissectrice d’un triangle est la bissectrice de l’un de ses angles.

Chaque triangle a trois bissectrices.

Exemple

Soit $ABC$ un triangle.

$\left[BE\right)$ la bissectrice de l’angle $ABC$.

On appelle aussi $\left[BE\right)$ : La bissectrice du triangle $ABC$.

II- Bissectrices d’un triangle

2-2/ Bissectrices d’un triangle

Propriété

Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes (elles passent par un même point)

Le point de concours I est le centre du cercle inscrit du triangle.

Le point $O$ est le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.

Remarque

Pour construire le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer deux bissectrices de ce triangle.

III- Hauteurs d’un triangle

3-1/ Définition

La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par l’un des sommets de ce triangle et perpendiculaire au support de côté opposé à ce sommet.

Exemple

III- Hauteurs d’un triangle

3-2/ Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes, Leur point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle.

Exemple

$H$ est l'orthocentre Du triangle $ABC$.

Remarque

Pour construire l’orthocentre d’un triangle, il suffit de tracer deux hauteurs de ce triangle.

IV- Médiane d'un triangle

4-1/ Définition

La médiane d’un triangle c’est la droite passant par un sommet de se triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Exemple

$\left(d\right)$ est la médiane relative au coté $\left[BC\right]$ ou la médiane issue du sommet $A$.

IV- Médiane d'un triangle

4-2/ Propriété

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G.

On dit que ce point commun G est le centre de gravité du triangle.

Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

Remarque

Si dans un triangle, un point est l’intersection de deux médianes, alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.

C'est à dire :

$\overline{) AG=\frac{2}{3}AA\text{'} ; BG=\frac{2}{3}BB\text{'} ; CG=\frac{2}{3}CC\text{'} }$

V- Triangles particuliers

5-1/ Triangle rectangle

Dans un triangle rectangle :

• les hauteurs issues des « sommets des angles aigus » sont confondues avec les côtés de l’angle droit.
• Les 3 médiatrices sont concourantes en un point qui est le milieu de l’hypoténuse.

V- Triangles particuliers

5-2/ Triangle isocèle

Dans un triangle isocèle :

• Les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues (C’est l’axe de symétrie du triangle isocèle).

V- Triangles particuliers

5-3/ Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral :

• Les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues (Ce sont les 3 axes de symétrie du triangle équilatéral).

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit figure suivante :

$F$ le point d'intersection des deux droites $\left(CD\right)$ et $\left(BE\right)$

1. Montrer que $\left(AF\right)\perp \left(BC\right)$

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.

Soient $I$ est le milieu de $\left[AD\right]$ et $J$ celui de $\left[AB\right]$.

Soit $\left(D_1\right)$ la droite passant par $I$ et perpendiculaire à $\left[AD\right]$.

Soit $\left(D_2\right)$ la droite passant par $J$ et perpendiculaire à $\left[AB\right]$.

Les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en $K$.

1. Dessiner la figure.

2. Que peut-on dire des droites $\left(OK\right)$ et $\left(BD\right)$ ?

(Aide : Utiliser le triangle $ABD$)

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

$EFGH$ est un carré de centre $I$ et $O$ le milieu de $\left[HG\right]$.

La droite $\left(FO\right)$ coupe la droite $\left(EG\right)$ en point $K$.

1. Dessiner la figure

2. Que représente le point $K$ pour le triangle $FGH$ ?

3. Calculer $GK$ sachant que $GI=6$

4. Démontrer que la droite $\left(OI\right)$ est la médiatrice du segment $\left[HG\right]$.

5. Que représente le point $I$ pour le triangle $FGH$ ?

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle tel que $BC=5cm$ et $\widehat{ABC}=45°$ et $AB=7cm$.

La droite qui passe par le point $B$ et perpendiculaire à la droite $\left(AB\right)$, coupe la droite $\left(AC\right)$ en $E$.

1. Dessiner la figure.

La bissectrice de l’angle $EAB$ coupe le segment $\left[BC\right]$ en un point $O$.

2. Prouver que le point $O$ est le centre du cercle inscrit au triangle AEB.

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

$ABC$ est un triangle équilatéral.

1. Trouver la relation entre $R_1$ rayon du cercle inscrit et $R_2$ rayon du cercle circonscrit.

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.

$G$ est le centre du gravité du triangle $ABD$ et $G’$ le centre du gravité du triangle $BCD$.

1. Dessiner la figure.

2. Montrer que $AG= \frac{1}{3}AC$

3. Démontrer que $O$ est le milieu du segment $[GG’]$.