Séance 8 - Primitive d’une fonction numérique

Sommaire

I- Primitive d’une fonction sur un intervalle

1-1 Définition

1-2/ Proposition 1

1-3/ Proposition 2

2-3/ Proposition 3

II-  primitives usuelles et opérations

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

I- Primitive d’une fonction numérique sur un intervalle

1-1 Définition

Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

On dit que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $\forall x\in I : F\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=f\left(\mathrm{x}\right)$

Exemple

I- Primitive d’une fonction numérique sur un intervalle

1-2/ Proposition 1

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$ , alors $f$ admet des primitives sur $I$.

Exemple

I- Primitive d’une fonction numérique sur un intervalle

1-3/ Proposition 2

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

- Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ alors les primitives de  sur $I$ sont les fonctions $x\to F\left(x\right)+c ; \left(c\in \mathrm{ℝ}\right)$

- soient $x_0\in I et y_0\in \mathrm{ℝ}$ ; il existe une seule fonction primitive $G$ de $f$ qui vérifie la condition $G\left(x_0\right)=y_0$.

Exemple

I- Primitive d’une fonction numérique sur un intervalle

1-4/ Proposition 3

$F$ et $G$ sont les primitives respectivement de $f$ et $g$ sur $I$.

On a $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.

Pour tout $\alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$, on a $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$.

Exemple

II-  primitives usuelles et opérations

2-1/ Tableau des primitives usuelles

Exemple

II-  primitives usuelles et opérations

2-2/ Fonctions primitives et opérations

Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Soit $f$ et $F$ deux fonctions numériques.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left(\begin{array}{c}F\left(x\right)=x^3+\frac{1}{x}+4\\ f\left(x\right)=3x^2-\frac{1}{x^2}\\ I=\mathrm{ℝ}*\end{array}\right) \\ \overline{)2} \left(\begin{array}{c}F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\sqrt{x}+4\\ f\left(x\right)=x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ I=]0,+\infty [\end{array}\right) \\ \overline{)3} \left(\begin{array}{c}F\left(x\right)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^3}{3}\\ f\left(x\right)=2x{\left(x^2+1\right)}^2\\ I=]0,+\infty [\end{array}\right) \end{gathered}$$

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Soient $f$ et $F$ deux fonctions numériques définies sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$$\begin{gathered} F\left(x\right)=x^4+x^3+x^2+1 \\ f\left(x\right)=4x^3+3x^2+2x \\ I=\mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.

2. Déterminer $G$ l’ensemble des primitives de $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.

3. Déterminer la primitive de $f$ qui vérifie $G\left(0\right)=1$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par : $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$

1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $f\left(x\right)=\frac{ax}{{\left(x^2-1\right)}^2}-\frac{b}{{\left(x-1\right)}^2}$.

2. En déduire toutes les primitives de $f$ sur $]-1;1[$.

3. Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie $F\left(0\right)=1$.