Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 6 (Suites numériques – Partie 1)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Suites numérique (Rappels)

1-1/ définition 

1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique

1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique

II- Limite d’une suite numérique

2-1/ Limite de suites de référence

2-2/  Limite de la suite géométrique qn avec q*

III- Convergence d’une suite

IV- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

 


I- Suites numérique (Rappels)

 

1-1/ définition

Toute fonction  u  définie sur l’ensemble  ou d’une partie I  de   vers    est dite suite numérique.

Notation et vocabulaire.

  • L’image de n  par la suite u est notée  un.
  •  La suite est notée  unnI (ou plus simplement  un si  n ).
  •  un  est un « terme » de la suite, et on l’appelle terme général de la suite.
  •  up  est un « terme » de la suite, et on l’appelle le premier terme  de la suite.
  • On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire par  une relation du type :  un=fn
  • On peut définir une suite par récurrence, c'est-à-dire par la donnée d'un (premier) terme  et par une relation du type  un+1=fun     ou par d’autres types.

 


I- Suites numérique (Rappels)

 

1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique

  Suite arithmétique Suite géométrique

Définition

n un+1-un=r n un+1=qun ou      un+1un=q

Le terme général

un=up+rn-p un=up×qn-p

La somme des termes d’une suite

S=up+up+1+...+unS=n-p+1up+un2 S=up+up+1+...+unS=up1-qn-p+11-q
Exemple

I- Suites numérique (Rappels)

 

1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

Une suite majorée :

nI M unM

Une suite minorée :

nI m unm

Une suite bornée :

nI m,M munM

Exemple

 

 

 


I- Suites numérique (Rappels)

 

1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique

Suite croissante :

nI  un+1un

Suite décroissante :

nI  un+1un

Exemple

 

 

 


II- Limite d’une suite numérique

 

2-1/ Limite de suites de référence

Propriété 1

limn+1n=0   ;    limn+1n2=0   ;   limn+1n=0   ;   limn+1nk=0limn+n=+   ;    limn+n2=+   ;   limn+n=+   ;   limn+nk=+

Exemple

 

 

 


II- Limite d’une suite numérique

 

2-1/ Limite de suites de référence

Propriété 2

un est une suite numérique et l un réel :

limn+un-l=0limn+un=l

Propriété 3

Si la suite un admet une limite l alors cette limite est unique.

 

 

 


II- Limite d’une suite numérique

 

2-2/  Limite de la suite géométrique qn avec q*

Propriété

Soit q un nombre réel non nul :

q q-1 -1<q<1 q=1 q>1
limn+qn pas de limite 0 1 +
Exemple

 

 

 


IV- Convergence d’une suite

 

Définition

un est une suite convergente si elle admet une limite finie.

un est une suite divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple

 

 

 


V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

un est la suite numérique définie par : u0=3un+1=23un+5 n

  1. Calculer u1 et u2
  2. montere par récurrence que : n : un<15
  3. Montere que  un est croissante et qu’elle est convergente

  4. On pose n vn=un-15                                                                                                                  
  1.  Montrer que vn est une suite géométrique. 
  2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n.
  3. Calculer Sn=v0+v1+......+vn en fonction de n.
  4. calculler limite de un 

 

 


V- Exercices

 

5-2/ Exercice 2

un est la suite numérique définie par : u0=5un+1=4un-9un-2 n

  1. Montrer que n un>3

On pose n vn=1un-3

  1. Montrer que vn est une suite arithmétique.
  1. En déduire vn et un en fonction de n.
  2. calculer la limite de un
  3. Calculer Sn=v0+v1+......+vn en fonction de n.

 

 


V- Exercices

 

5-3/ Exercice 3

un est la suite numérique définie par : u0=2un+1=2-1un n

  1. Calculer u1 et u2
  2. Montere par récurrence que : n : un>1
  3. Montere  que  n : un+1-un=-un-12un
  4. En déduire  que  un est décroissante et qu’elle est convergente                                                                                        On pose       n vn=un-2un-1                                                                                                             

  5.  Montrer que vn est une suite arithmétique. 
  6. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n.
  7. calculler limite de un 

 


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