Séance 6 - Suites numériques (Partie 1)

Sommaire

I- Suites numérique (Rappels)

1-1/ Définition 

1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique

1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique

II- Limite d’une suite numérique

2-1/ Limite de suites de référence

2-2/  Limite de la suite géométrique $q^n$ avec $q\in \mathrm{ℝ}*$

III- Convergence d’une suite

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

I- Suites numérique (Rappels)

1-1/ définition

Toute fonction  u  définie sur l’ensemble $\mathrm{\mathbb{N}}$ ou d’une partie I  de $\mathrm{\mathbb{N}}$  vers  $\mathrm{ℝ}$  est dite suite numérique.

Notation et vocabulaire.

• L’image de n  par la suite u est notée  $u_n$.
•  La suite est notée  ${\left(u_n\right)}_{n\in I}$ (ou plus simplement  $\left(u_n\right)$ si  $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ ).
•  $u_n$  est un « terme » de la suite, et on l’appelle terme général de la suite.
•  $u_p$  est un « terme » de la suite, et on l’appelle le premier terme  de la suite.
• On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire par  une relation du type :  $u_n=f\left(n\right)$
• On peut définir une suite par récurrence, c'est-à-dire par la donnée d'un (premier) terme  et par une relation du type  ${u_n}_{+1}=f\left(u_n\right)$     ou par d’autres types.

I- Suites numérique (Rappels)

1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique

Exemple

I- Suites numérique (Rappels)

1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

Une suite majorée :

$\left(\forall n\in I\right) \left(\exists M\in \mathrm{ℝ}\right) u_n\le M$

Une suite minorée :

$\left(\forall n\in I\right) \left(\exists m\in \mathrm{ℝ}\right) u_n\ge m$

Une suite bornée :

$\left(\forall n\in I\right) \left(\exists m,M\in \mathrm{ℝ}\right) m\le u_n\le M$

Exemple

I- Suites numérique (Rappels)

1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique

Suite croissante :

$\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}\ge u_n$

Suite décroissante :

$\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}\le u_n$

Exemple

II- Limite d’une suite numérique

2-1/ Limite de suites de référence

Propriété 1

$$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0 ; \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0 ; \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0 ; \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0 \\ \underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty ; \underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^2=+\infty ; \underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{n}=+\infty ; \underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty \end{gathered}$$

Exemple

II- Limite d’une suite numérique

2-1/ Limite de suites de référence

Propriété 2

$\left(u_n\right)$ est une suite numérique et $\mathcal{l}$ un réel :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n-\mathcal{l}=0\iff \underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$

Propriété 3

Si la suite $\left(u_n\right)$ admet une limite $\mathcal{l}$ alors cette limite est unique.

II- Limite d’une suite numérique

2-2/  Limite de la suite géométrique $q^n$ avec $q\in \mathrm{ℝ}*$

Propriété

Soit $q$ un nombre réel non nul :

Exemple

III- Convergence d’une suite

Définition

$\left(u_n\right)$ est une suite convergente si elle admet une limite finie.

$\left(u_n\right)$ est une suite divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

$\left(u_n\right)$ est la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ u_{n+1}=\frac{2}{3}{u}_n+5 \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\end{array}\right.$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$

2. Montrer par récurrence que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_n<15$

3. Montrer que  $\left(u_n\right)$ est croissante et qu’elle est convergente

On pose $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) v_n=u_n-15$                                                                                                                  

4. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. 

5. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$.

6. Calculer $S_n=v_0+v_1+......+v_n$ en fonction de $n$.

7. Calculler limite de $\left(u_n\right)$ 

VI- Exercices

4-2/ Exercice 2

$\left(u_n\right)$ est la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=5\\ u_{n+1}=\frac{4u_n-9}{u_n-2} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\end{array}\right.$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n>3$

On pose $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) v_n=\frac{1}{u_n-3}$

2. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.

3. En déduire $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer la limite de $\left(u_n\right)$

5. Calculer $S_n=v_0+v_1+......+v_n$ en fonction de $n$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

$\left(u_n\right)$ est la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ u_{n+1}=2-\frac{1}{u_n} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\end{array}\right.$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$

2. Montrer par récurrence que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_n>1$

3. Montrer que  $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_{n+1}-u_n=-\frac{{\left(u_n-1\right)}^2}{u_n}$

4. En déduire que $\left(u_n\right)$ est décroissante et qu’elle est convergente                                                                                     

On pose $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) v_n=\frac{u_n-2}{u_n-1}$.

5. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique. 

6. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$.

7. Calculler limite de $\left(u_n\right)$ 

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Considérons la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=6$ et $u_{n+1}=\frac{1}{5}{u}_n+\frac{2}{5}$  pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer par récurrence que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n>\frac{1}{2}$.

3. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_{n+1}-u_n=-\frac{4}{5}\left(u_n-\frac{1}{2}\right)$.

4. Déduire la monotonie de $\left(u_n\right)$, puis montrer qu’elle est convergente.

5. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n\le 1$, et déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \frac{1}{2}<u_n\le 1$.

Posons $v_n=u_n-\frac{1}{2}$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

6. Calculer $v_0$, et montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{5}$.

7. Calculer $v_n$ en fonction de $n$, et déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n=\frac{1}{2}\left(11{\left(\frac{1}{5}\right)}^n+1\right)$.

8. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Posons $S_n=u_0+u_1+u_2+....+u_{n-1}$.

9. Montrer que $S_n=\frac{55}{8}\left(1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\right)+\frac{n}{2}$.