Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 2 (Continuité – Partie 1)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Continuité en un point et continuité sur un intervalle

1-1/ Continuité en un point

1-2/ Continuité à droite – Continuité à gauche

1-3/ Continuité sur un intervalle

1-4/ Les opérations sur les fonctions continues

II- Image d’un intervalle par une fonction continue

2-1/ Image d‘un intervalle

2-2/ Cas d’une fonction continue et strictement monotone

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

 


I- Continuité en un point et continuité sur un intervalle

 

1-1/ Continuité en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I

f est continue en a, si limxafx=fa

Exemples

 

 

 

 

 

1-2/ Continuité à droite – Continuité à gauche

Définition

- Soit f une fonction définie sur un intervalle de type  [a;a+α[ avec α>0 , alors 

f est continueà droite en a, si limxa+fx=fa

- Soit f une fonction définie sur un intervalle de type  ]a-α;a] avec α>0 , alors 

f est continue à gauche  en  a, si limxa+fx=fa

Exemple

 

Propriété

Soit f une fonction numérique  définie sur un intervalle ouvert I et aI.

La fonction f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche en a.

c-à-d : limxa-fx=limxa+fx=fa

Exemple

 

 

 

1-3/ Continuité sur un intervalle

Définition

f est continue sur un intervalle ouvert ]a,b[ si f est continue en tous points de cet intervalle

f est continue sur un intervalle fermé a,b si f est continue sur l’intervalle ouvert ]a,b[ et continue à droite en a, et à gauche en b.

 

 

 

 

Propriétés

Les fonctions polynômes sont continue sur .

Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

La fonction xx est continue sur [0,+[

Exemples

 

 

 

Remarque

- Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe sans lever le crayon sur cet intervalle

- Toute fonction continue sur un intervalle I, sa restriction est continue sur tout intervalle inclus dans I.

Exemple

 

 

 

1-4/ Les opérations sur les fonctions continues

propriétés

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k

- Les fonctions f+g et f.g et k.f sont continus sur I

- Si g ne s’annule pas sur I, alors 1g et fg sont continués sur I

- Si la fonction f est continue et positive sur un intervalle I, alors la fonction f est continue sur I.

Exemples

 

II- Image d’un intervalle par une fonction continue

 

2-1/ Image d‘un intervalle

Propriété

- Si f une fonction numérique continue sur un intervalle I, alors son image par f est un intervalle.

- Si f une fonction numérique  continue sur un segment a;b, alors son image par f est un segment m;M,

         où m et M sont, respectivements, les valeurs minimale et maximale de f sur le segment a;b.

Géométriquement

Exemple :

 

2-2/ Cas d’une fonction continue et strictement monotone

Si f est une fonction strictement croissante :

L’intervalle I

L’intervalle fI

a;b

fa;fb

[a;b[

[fa;limxb-fx[

]a;b]

]limxa+fx;fb]

]a;b[

]limxa+fx;limxb-fx[

Si f est une fonction strictement décroissante :

L’intervalle I

L’intervalle fI

a;b

fb;fa

[a;b[

]limxb-fx;fa]

]a;b]

[fb;limxa+fx[

]a;b[

]limxb-fx;limxa+fx[

Exemple

 

III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

Étudier la continuité de f en a dans chaque cas :

 

A- fx=x2-1x+1 ; x-1f-1=0; a=-1

 

B- fx=3x+1-2x-1 ; x1f1=-14; a=1

 

C- fx=x+3-2x2+x-2 ; x1f1=112; a=1

 

 

3-2/ Exercice 2

A- Soit f la fonction définie sur  par :

fx=2+5-x ; x4fx=x-4x-2 ; x>4

  1. Étudier la continuité de f à gauche et à droite en 4
  1. Est-ce que f est continue en 4 ?

 

B- Soit g la fonction définie sur  par :

gx=xx ; x>0gx=x2+1-1x ; x<0g0=0

  1. Étudier la continuité de g en 0

 

 

3-3/ Exercice 3

A- Soit f la fonction définie sur  par :

fx=x3+2x ; x1fx=x2+x-2x-1 ; x>1

 

  1. Étudier la continuité de f en 1
  2. Étudier la continuité de f sur ]-;1[ et ]1;+[
  3. Est-ce que f est continue sur  ?

 

B- Soit g la fonction définie sur  par :

gx=1-x ; x1gx=x2+1 ; x>1

 

  1. Étudier la continuité de g sur ]-;1[ et ]1;+[
  1. Étudier la continuité de g en 1
  1. Est-ce que g est continue sur  ?

 

 

3-4/ Exercice 4

Soit h une fonction numérique continue sur chacun des intervalles ]-;3[ et ]3;+[ et dont le tableau de variations est donné par :

  1. Déterminer les images des intervalles suivants par la fonction h :

]-;0[  ;  [0;3[  ;  ]-;3[  ;  ]3;+[

 

 

3-5/ Exercice 5

  1. Justifier la continuité de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I :

1 fx=x2-54 ; I=2 fx=3x2-4x ; I=*3 fx=3x-4x-12 ; I=]1;+[4 fx=1x2+1 ; I=]-;0]5 fx=x2+3 ; I=

 

 

3-6/ Exercice 6

f est la fonction définie sur [-1;+[ par : fx=x3+1-3x-2 ; x2f2=m

  1. Déterminer la valeur de m pour que f soit continue en 2