Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 1 (Limites (Rappel))

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Limites usuelles

II- Limite d’une fonction polynomiale

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

III- Limite d’une fonction rationnelle

3-1/ Propriété 1

3-2/ Propriété 2

IV- Limite d’une fonction irrationnelle

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

VI- Limites et ordre

6-1/ Théorème 1

6-2/ Théorème des gendarmes

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

 


I- Limites usuelles

 

Soit n*, on a :

limx+axn=(signe de a)limx-axn=(signe de -a) si n est impairlimx-axn=(signe de a) si n est pairlimx+1xn=0limx+x=+

Exemples

 

 

 

II- Limite d’une fonction polynomiale

 

2-1/ Propriété 1

Si f est une fonction polynomiale, alors limxaf(x)=f(a)

Exemple

 

 

 

 

 

2-2/ Propriété 2

La limite d'un polynôme en  est celle de son terme de plus haut degré

Exemples

 

 

III- Limite d’une fonction rationnelle

 

3-1/ Propriété 1

La limite d’une fonction rationnelle en  est celle du quotient des termes de plus haut degré

Exemples

 

 

 

 

3-2/ Propriété 2

Soit  une fonction rationnelle tel que: f(x)=p(x)q(x)

On a : limxaf(x)=p(a)q(a)

Si p(a)=q(a)=0 (càd a est une racine de p(x) et q(x)), alors

limxaf(x)=limxa(x-a)p1(a)(x-a)q1(a)=limxap1(a)q1(a)

Exemples

 

 

 

IV- Limite d’une fonction irrationnelle

 

4-1/ Propriété 1

Si limx?f(x)=a avec (a0), alors limx?f(x)=a

Si limx?f(x)=+, alors limx?f(x)=+

Exemples

 

 

V- Opérations sur les limites

 

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxaf(x) L L L + - +
limxag(x) M + - + - -
limxa(f(x)+g(x)) L+M + - + - F.I
Exemples

 

 

 

 

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxaf(x) L L0 0
limxag(x) M
limxa(f(x)×g(x)) L×M F.I
Exemples

 

 

 

 

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxaf(x) L L0 0
limxag(x) M0 0 M 0
limxa(f(x)g(x)) LM F.I F.I
Exemples

 

 

 

VI- Limites et ordre

 

6-1/ Théorème 1

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.

Si (xI) ; f(x)g(x) et limxag(x)=+ alors limxaf(x)=+

Si (xI) ; f(x)g(x) et limxag(x)=- alors limxaf(x)=-

Exemples

 

 

 

 

6-2/ Théorème des gendarmes

Soient f et g et h trois fonctions définies sur un intervalle I et k un réel.

Si (xI) ; g(x)f(x)h(x) et limxag(x)=limxah(x)=k alors limxaf(x)=k

Lemme

Si (xI) ; |f(x)-k|g(x) et limxag(x)=0 alors limxaf(x)=k

Exemples

 

 

 

VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

A=limx+2x3+x2-x+1   B=limx+2x+5x2-7x3 C=limx-3x2+x-3 D=limx-2x3-x2+x E=limx+2x+5x2-7x4x-10x2+7x3 F=limx-2x2+x-1(x-1)2 G=limx2x-4(2x-3)3

 

 

 

7-2/ Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

A=limx1x3+1(x-1)2B=limx1+3x+1x2+x-2C=limx1x2-x2x2+2x-4D=limx1x2-x2x2+2x-4E=limx1x2-3x+2x2-9x+8

 

 

 

7-3/ Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

A=limx4x-4x+5-3B=limx-1x+5-21+xC=limx24x+1-3x2-3x+2D=limx-13x2-x-4x+5-2

 

 

 

7-4/ Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

A=limx+x-xB=limx-x4-2x3+1-xC=limx+x-x2+1D=limx+2x-x2+3

 

 

7-5/ Exercice 5

Soit f une fonction Définie par : {f(x)=3x2-4x-4x2-x-2 ; x>2f(x)=x2+5-3x+2-2 ; x<2f(2)=83

  1. Déterminer Df l’ensemble de définition de f.
  1. Calculer les limites suivantes : limx+f(x) et limx2f(x).

 

 

7-6/ Exercice 6

Soit f une fonction Définie par : {f(x)=x2-6x+5x-5 ; x5f(5)=4

  1. Déterminer puis calculer limx5f(x).
  1. Montrer que f est dérivable en x0=5.
  1. Déterminer l’équation de (T) la tangente à (Cf) en 5.