Mathématiques : 2Bac Eco-SGC
Séance 1 (Limites (Rappel))
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Limites usuelles
II- Limite d’une fonction polynomiale
2-1/ Propriété 1
2-2/ Propriété 2
III- Limite d’une fonction rationnelle
3-1/ Propriété 1
3-2/ Propriété 2
IV- Limite d’une fonction irrationnelle
V- Opérations sur les limites
5-1/ Limite de la somme de deux fonctions
5-2/ Limite du produit de deux fonctions
5-3/ Limite du quotient de deux fonctions
VI- Limites et ordre
6-1/ Théorème 1
6-2/ Théorème des gendarmes
VII- Exercices
7-1/ Exercice 1
7-2/ Exercice 2
7-3/ Exercice 3
7-4/ Exercice 4
7-5/ Exercice 5
7-6/ Exercice 6
I- Limites usuelles
Soit n∈ℕ*, on a :
limx→+∞axn=(signe de a)∞limx→-∞axn=(signe de -a)∞ si n est impairlimx→-∞axn=(signe de a)∞ si n est pairlimx→+∞1xn=0limx→+∞√x=+∞
Exemples
II- Limite d’une fonction polynomiale
2-1/ Propriété 1
Si f est une fonction polynomiale, alors limx→af(x)=f(a)
Exemple
II- Limite d’une fonction polynomiale
2-2/ Propriété 2
La limite d'un polynôme en ∞ est celle de son terme de plus haut degré
Exemples
III- Limite d’une fonction rationnelle
3-1/ Propriété 1
La limite d’une fonction rationnelle en ∞ est celle du quotient des termes de plus haut degré
Exemples
III- Limite d’une fonction rationnelle
3-2/ Propriété 2
Soit une fonction rationnelle tel que: f(x)=p(x)q(x)
On a : limx→af(x)=p(a)q(a)
Si p(a)=q(a)=0 (càd a est une racine de p(x) et q(x)), alors
limx→af(x)=limx→a(x-a)p1(a)(x-a)q1(a)=limx→ap1(a)q1(a)
Exemples
IV- Limite d’une fonction irrationnelle
4-1/ Propriété 1
Si limx→?f(x)=a avec (a≥0), alors limx→?√f(x)=√a
Si limx→?f(x)=+∞, alors limx→?√f(x)=+∞
Exemples
V- Opérations sur les limites
5-1/ Limite de la somme de deux fonctions
a désigne un nombre réel ou +∞ ou -∞, L et M sont deux nombres réels.
limx→af(x) | L | L | L | +∞ | -∞ | +∞ |
limx→ag(x) | M | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ |
limx→a(f(x)+g(x)) | L+M | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I |
Exemples
V- Opérations sur les limites
5-2/ Limite du produit de deux fonctions
a désigne un nombre réel ou +∞ ou -∞, L et M sont deux nombres réels.
limx→af(x) | L | L≠0 | ∞ | 0 |
limx→ag(x) | M | ∞ | ∞ | ∞ |
limx→a(f(x)×g(x)) | L×M | ∞ | ∞ | F.I |
Exemples
V- Opérations sur les limites
5-3/ Limite du quotient de deux fonctions
a désigne un nombre réel ou +∞ ou -∞, L et M sont deux nombres réels.
limx→af(x) | L | L≠0 | ∞ | ∞ | 0 |
limx→ag(x) | M≠0 | 0 | M | ∞ | 0 |
limx→a(f(x)g(x)) | LM | ∞ | ∞ | F.I | F.I |
Exemples
VI- Limites et ordre
6-1/ Théorème 1
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
Si (∀x∈I) ; f(x)≥g(x) et limx→ag(x)=+∞ alors limx→af(x)=+∞
Si (∀x∈I) ; f(x)≤g(x) et limx→ag(x)=-∞ alors limx→af(x)=-∞
Exemples
VI- Limites et ordre
6-2/ Théorème des gendarmes
Soient f et g et h trois fonctions définies sur un intervalle I et k un réel.
Si (∀x∈I) ; g(x)≤f(x)≤h(x) et limx→ag(x)=limx→ah(x)=k alors limx→af(x)=k
Lemme
Si (∀x∈I) ; |f(x)-k|≤g(x) et limx→ag(x)=0 alors limx→af(x)=k
Exemples
VII- Exercices
7-1/ Exercice 1
Calculer les limites suivantes :
A=limx→+∞2x3+x2-x+1 B=limx→+∞2x+5x2-7x3 C=limx→-∞3x2+x-3 D=limx→-∞2x3-x2+x E=limx→+∞2x+5x2-7x4x-10x2+7x3 F=limx→-∞2x2+x-1(x-1)2 G=limx→2x-4(2x-3)3
VII- Exercices
7-2/ Exercice 2
Calculer les limites suivantes :
A=limx→1x3+1(x-1)2B=limx→1+3x+1x2+x-2C=limx→1x2-x2x2+2x-4D=limx→1x2-x2x2+2x-4E=limx→1x2-3x+2x2-9x+8
VII- Exercices
7-3/ Exercice 3
Calculer les limites suivantes :
A=limx→4x-4√x+5-3B=limx→-1√x+5-21+xC=limx→2√4x+1-3x2-3x+2D=limx→-13x2-x-4√x+5-2
VII- Exercices
7-4/ Exercice 4
Calculer les limites suivantes :
A=limx→+∞x-√xB=limx→-∞√x4-2x3+1-xC=limx→+∞x-√x2+1D=limx→+∞2x-√x2+3
VII- Exercices
7-5/ Exercice 5
Soit f une fonction Définie par : {f(x)=3x2-4x-4x2-x-2 ; x>2f(x)=√x2+5-3√x+2-2 ; x<2f(2)=83
- Déterminer Df l’ensemble de définition de f.
- Calculer les limites suivantes : limx→+∞f(x) et limx→2f(x).
VII- Exercices
7-6/ Exercice 6
Soit f une fonction Définie par : {f(x)=x2-6x+5x-5 ; x≠5f(5)=4
- Déterminer puis calculer limx→5f(x).
- Montrer que f est dérivable en x0=5.
- Déterminer l’équation de (T) la tangente à (Cf) en 5.