Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 1 (Limites (Rappel))

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Limites usuelles

II- Limite d’une fonction polynomiale

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

III- Limite d’une fonction rationnelle

3-1/ Propriété 1

3-2/ Propriété 2

IV- Limite d’une fonction irrationnelle

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

VI- Limites et ordre

6-1/ Théorème 1

6-2/ Théorème des gendarmes

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

 


I- Limites usuelles

 

Soit n*, on a :

limx+axn=signe de alimx-axn=signe de -a si n est impairlimx-axn=signe de a si n est pairlimx+1xn=0limx+x=+

Exemples

 

 

 


II- Limite d’une fonction polynomiale

 

2-1/ Propriété 1

Si f est une fonction polynomiale, alors limxafx=fa

Exemple

 

 

 


II- Limite d’une fonction polynomiale

 

 

2-2/ Propriété 2

La limite d'un polynôme en  est celle de son terme de plus haut degré

Exemples

 

 


III- Limite d’une fonction rationnelle

 

3-1/ Propriété 1

La limite d’une fonction rationnelle en  est celle du quotient des termes de plus haut degré

Exemples

 

 

 


III- Limite d’une fonction rationnelle

 

3-2/ Propriété 2

Soit  une fonction rationnelle tel que: fx=pxqx

On a : limxafx=paqa

Si pa=qa=0 (càd a est une racine de px et qx), alors

limxafx=limxax-ap1ax-aq1a=limxap1aq1a

Exemples

 

 

 


IV- Limite d’une fonction irrationnelle

 

4-1/ Propriété 1

Si limx?fx=a avec a0, alors limx?fx=a

Si limx?fx=+, alors limx?fx=+

Exemples

 

 


V- Opérations sur les limites

 

5-1/ Limite de la somme de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxafx L L L + - +
limxagx M + - + - -
limxafx+gx L+M + - + - F.I
Exemples

 

 

 


V- Opérations sur les limites

 

5-2/ Limite du produit de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxafx L L0 0
limxagx M
limxafx×gx L×M F.I
Exemples

 

 

 


V- Opérations sur les limites

 

5-3/ Limite du quotient de deux fonctions

a désigne un nombre réel ou + ou -, L et M sont deux nombres réels.

limxafx L L0 0
limxagx M0 0 M 0
limxafxgx LM F.I F.I
Exemples

 

 

 


VI- Limites et ordre

 

6-1/ Théorème 1

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.

Si xI ; fxgx et limxagx=+ alors limxafx=+

Si xI ; fxgx et limxagx=- alors limxafx=-

Exemples

 

 

 


VI- Limites et ordre

 

6-2/ Théorème des gendarmes

Soient f et g et h trois fonctions définies sur un intervalle I et k un réel.

Si xI ; gxfxhx et limxagx=limxahx=k alors limxafx=k

Lemme

Si xI ; fx-kgx et limxagx=0 alors limxafx=k

Exemples

 

 

 


VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

 A=limx+2x3+x2-x+1   B=limx+2x+5x2-7x3 C=limx-3x2+x-3 D=limx-2x3-x2+x E=limx+2x+5x2-7x4x-10x2+7x3 F=limx-2x2+x-1(x-1)2 G=limx2x-4(2x-3)3

 

 


VII- Exercices

 

7-2/ Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

A=limx1x3+1(x-1)2B=limx1+3x+1x2+x-2C=limx1x2-x2x2+2x-4D=limx1x2-x2x2+2x-4E=limx1x2-3x+2x2-9x+8

 

 


VII- Exercices

 

7-3/ Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

A=limx4x-4x+5-3B=limx-1x+5-21+xC=limx24x+1-3x2-3x+2D=limx-13x2-x-4x+5-2

 

 


VII- Exercices

 

7-4/ Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

A=limx+x-xB=limx-x4-2x3+1-xC=limx+x-x2+1D=limx+2x-x2+3

 


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