Séance 3 - Continuité (Partie 2)

Sommaire

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-1/ Propriété (Théorème des valeurs intermédiaires)

1-2/ Conséquences

II- Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$

2-1/ Théorème

2-2/ Relation entre $f$ et sa réciproque $f^{-1}$

2-3/ Propriétés de la fonction réciproque $f^{-1}$

III- La fonction racine d’ordre n (ou racine $n^{ième}$)

3-1/ Définition et théorème

3-2/ Cas particuliers

3-3/ Propriétés

3-4/ Limites de la fonction $g\left(x\right)=\sqrt[n]{f\left(x\right)}$

VI- Puissance rationnelle d’un nombre réel positif

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-1/ Propriété (Théorème des valeurs intermédiaires)

$f$ est une fonction continue sur $[a,b]$.

Pour tout nombre $k$ compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, il existe au moins un élément $c$ de $[a,b]$ tel que $f\left(c\right)=k$

1-2/ Conséquences

Puisque la fonction $f$ est continue on a $f\left([a,b]\right)=\left[m,M\right]$  (l’image d’un segment est un segment).

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f\left(a\right)f\left(b\right)<0$ alors l’équation $f\left(x\right)=0$ admet au moins une solution $c$ dans $]a,b[$.

Exemples

1-3/ Cas d’une fonction continue et monotone

$f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$.

Pour tout nombre $k$ compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, il existe un seul un élément $c$ de $[a,b]$ tel que $f\left(c\right)=k$

II- Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$

2-1/ Théorème

Toute fonction continue et strictement monotone sur $I$ , admet une fonction réciproque définie sur $f\left(I\right)$

$f:I\mapsto J$ est une fonction si tout $x\in I$ a une et seule image $y\in J$ et de même si tout $y\in J$ a un et seul antécédent $x\in I$

On définie une autre fonction notée $f^{-1}$ et appelée fonction réciproque de $f$ avec :

$$\begin{gathered} f:I\mapsto J=f\left(I\right) \\ x\mapsto f\left(x\right)=y \end{gathered}$$ et  $$\begin{gathered} f^{-1}:J=f\left(I\right)\mapsto I \\ y\mapsto f^{-1}\left(y\right)=x \end{gathered}$$

Exemples

II- Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$

2-2/ Relation entre $f$ et sa réciproque $f^{-1}$

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=y\\ x\in I\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{f}^{-1}\left(y\right)=x\\ y\in J\end{array}\right.$

et

$\forall x\in I : f^{-1}of\left(x\right)=x$

et

$\left\{\begin{array}{l}\forall y\in J : fo{f}^{-1}\left(y\right)=y\\ \forall x\in I : f^{-1}of\left(x\right)=x\end{array}\right.$

Exemples

II- Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$

2-3/ Propriétés de la fonction réciproque $f^{-1}$

La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J=f\left(I\right)$

La fonction réciproque $f^{-1}$ et $f$ varient dans le même sens.

$\left(C_f\right)$ et $\left(C_{f^{-1}}\right)$ sont symétriques par rapport à la 1er bissectrice $\left(\left(D\right):y=x\right)$

Exemples

III- La fonction racine d’ordre n (ou racine $n^{ième}$)

3-1/ Définition et théorème

La fonction $f\left(x\right)=x^n$ (avec $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$) est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty [$

Sa fonction réciproque $f^{-1}$ sera notée $f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ et appelée La fonction racine d’ordre n (ou la fonction racine $n^{ième}$)

On l’appelle $\sqrt[n]{x}$ la racine d’ordre n du réel positif x

3-2/ Cas particuliers

Cas $n=1$ on a $f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[1]{x}=x$ (pas d'importance). Donc on prend $n\in \mathrm{\mathbb{N}}-\left\{0,1\right\}$

Cas $n=2$ on a $f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$ (racine carrée)

Cas $n=3$ on a $f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ (racine cubique ou racine d’ordre 3)

III- La fonction racine d’ordre n (ou racine $n^{ième}$)

3-3/ Propriétés

III- La fonction racine d’ordre n (ou racine $n^{ième}$)

3-4/ Limites de la fonction $g\left(x\right)=\sqrt[n]{f\left(x\right)}$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{f\left(x\right)}=+\infty$

et

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=l et l\ge 0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{f\left(x\right)}=\sqrt[n]{l}$

Les deux propriétés restent vraies si on remplace $x\to x_0$ par $x\to {x_0}^{-}$ ou $x\to {x_0}^{+}$ ou $x\to x+\infty$

Exemples

VI- Puissance rationnelle d’un nombre réel positif

4-1/ Définition

$x\in {\mathrm{ℝ}}^{+*}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ et $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

On pose $r=\frac{m}{n}\in \mathrm{\mathbb{Q}}$

Le nombre $\sqrt[n]{x^m}$ son écriture sera de la façon suivante $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ ou encore par $\sqrt[n]{x^m}=x^r$

$x^r$ est appelé puissance rationnelle du nombre réel positif $x$ d’exposant $r$

$\left(0^r=0 ; r\ne 0\right)$

Exemples

VI- Puissance rationnelle d’un nombre réel positif

4-2/ Propriétés

Exemples

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par: $f\left(x\right)=x^6+2x^4-1$.

1. Montrer que l’équation $x^6+2x^4-1=0$ admet au moins une solution sur $]0;1[$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par: $g\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$.

2. Dresser le tableau de variaton de $g$ sur $\mathrm{ℝ}$.

3. Montrer que l’équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution sur $\mathrm{ℝ}$. On note cette solution par $\alpha$.

4. Déterminer le signe de $g\left(x\right)$ sur $[1;+\infty [$ .

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par: $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1}$.

1. Déterminer $D_f$, puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.

2. Montrer que: $\left(\forall x\in D_f\right) f\text{'}\left(x\right)=\frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2}$.

3. Dresser le tableau de variation de $f$.

4. Déterminer $f\left(\right]-\infty ;-2\left]\right), f\left(\right[-2;-1\left[\right), f\left(\right]-1;0\left]\right) et f\left(\right[0;+\infty \left[\right)$.

Soit $g$ la restriction de $f$ sur l’intervalle $]-\infty ;-2]$.

5. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l’on déterminera.

6. Monter que : $\left(\forall x\in J\right) g^{-1}\left(x\right)=\frac{x-\sqrt{x^2+4x}}{2}$ .

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

1. Calculer les limites suivantes :

1- $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-\sqrt[3]{x+7}}{x-1}$                           

2- $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{3x-5}}$

3-$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{5x^2+x+1}+2x$         

4- $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{8x^3+3x+1}-2x$

5- $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-5x+2}{3x^2+\sqrt[3]{2x^2+1}-5}$     

6- $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+x+1}{\sqrt[3]{8x^2+3}-\sqrt[3]{8x^2+1}}$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=x^2-2\sqrt{x^2-1}$

1. Montrer que: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

2. Montrer que $f$ est continue sur l’intervalle $[1;+\infty [$.

3. Montrer que $(\forall x>1) f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x(x^2-2)}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}+1)}$.

4. Déduire les variations de $f$ sur $[1;+\infty [$.

Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[\sqrt{2} ;+\infty [$.

5. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque définie sur un interval $J$ à déterminer.

6. Montrer que $(\forall x\in [\sqrt{2} ;+\infty \left[\right) : g\left(x\right)={(\sqrt{x^2-1}-1)}^2$.

7. Déduire $g^{-1}\left(x\right), \forall x\in J$.

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par: $f\left(x\right)=x^3-x^2+3x+1$.

1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathrm{ℝ}$.

2. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $a$ dans $]-\frac{1}{2};0[$.

3. Calculer $f\left(\frac{-1}{4}\right)$, puis déduire un encadrement de $a$ d’amplitude $0,25$.

4. Montrer que $\sqrt{a+1}=\frac{-2a}{a+1}$

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

On considère la fonction $f$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-2\sqrt{x+1}$.

1. Justifier que $D_f=[-1;0[\cup ]0;+\infty [$.

2. Calculer les limites de $f$ aux ornes de $D_f$.

3. Montrer que $f$ est continue et strictement décroissante sur $]0;+\infty [$.

4. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]\frac{1}{4};1[$.

5. Vérifier que $4{\alpha }^3+4{\alpha }^2-1=0$.