Séance 1 - Limites et dérivation (Rappel)

Sommaire

I- Limites des fonctions ${\mathit{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{ }\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{\in }\mathrm{\mathbb{N}}\mathrm{*}\mathrm{)}$ et $\sqrt{\mathrm{x}}$ et leur inverses

II- Limites des fonctions polynômes et rationnelles

2-1/ Limite d’une fonction polynôme

2-2/ Limite d’une fonction rationnelle

III- Limites des fonctions trigonométriques

IV- Limites des fonctions de type $\sqrt{\mathrm{u}\left(x\right)}$

V- Théorème de comparaison

VI- Limites et opérations

VII- La dérivabilité

7-1/ Fonction dérivable en un point

7-2/ Dérivée des fonctions usuelles

7-3/ Opérations sur les fonctions dérivées- dérivée d’une fonction composée

7-4/ Dérivée et sens de variation

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

I- Limites des fonctions ${\mathit{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{ }\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{\in }\mathrm{\mathbb{N}}\mathrm{*}\mathrm{)}$ et $\sqrt{\mathrm{x}}$ et leur inverses

Si n est un nombre paire :

$$\begin{gathered} \overline{)\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=+\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=+\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}=+\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}=+\infty } \end{gathered}$$

Si n est un nombre impaire :

$$\begin{gathered} \overline{)\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=+\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=-\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}=+\infty \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}=-\infty } \end{gathered}$$

II- Limites des fonctions polynômes et rationnelles

2-1/ Limite d’une fonction polynôme

La limite d’une fonction polynôme en $\mathrm{+}\mathrm{\infty }$ et en $\mathrm{-}\mathrm{\infty }$ est celle de son terme de plus haut degré

Exemple

2-2/ Limite d’une fonction rationnelle

La limite d’une fonction rationnelle en $\mathrm{+}\mathrm{\infty }$ et en $\mathrm{-}\mathrm{\infty }$ est celle du quotient des termes de plus haut degré

Exemple

III- Limites des fonctions trigonométriques

IV- Limites des fonctions de type $\sqrt{\mathrm{u}\left(x\right)}$

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\mathrm{\to }{\mathrm{x}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{u}\left(x\right)\mathrm{=}\mathrm{l}\mathrm{\ge }\mathrm{0}\mathrm{ }\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\mathrm{\to }{\mathrm{x}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sqrt{\mathrm{u}\left(x\right)}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{l}} \\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\mathrm{\to }{\mathrm{x}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{u}\left(x\right)\mathrm{=}\mathrm{+}\mathrm{\infty }\mathrm{ }\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\mathrm{\to }{\mathrm{x}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sqrt{\mathrm{u}\left(x\right)}\mathrm{=}\mathrm{+}\mathrm{\infty }\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

Ces résultats restent valable, à droite en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, à gauche en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, en $\mathrm{+}\mathrm{\infty }$ et en $\mathrm{-}\mathrm{\infty }$

V- Théorème de comparaison

Ces résultats restent valable, à droite en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, à gauche en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, en $\mathrm{+}\mathrm{\infty }$ et en $\mathrm{-}\mathrm{\infty }$

VI- Limites et opérations

Ces résultats restent valable, à droite en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, à gauche en ${\mathit{x}}_{\mathrm{0}}$, en $\mathrm{+}\mathrm{\infty }$ et en $\mathrm{-}\mathrm{\infty }$

VII- La dérivabilité

7-1/ Fonction dérivable en un point

Définition

On dit qu’une fonction f est dérivable en $x_0$ si $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ existe et finie.

Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, on le note $f\text{'}\left(x_0\right)$.

Exemple

VII- La dérivabilité

7-2/ Dérivée des fonctions usuelles

VII- La dérivabilité

7-3/ Opérations sur les fonctions dérivées- dérivée d’une fonction composée

$$\begin{gathered} \overline{)\left(u+v\right)\text{'}=u\text{'}+v\text{'} \\ \left(ku\right)\text{'}=k\left(u\right)\text{'} \left(k\in \mathrm{ℝ}\right) \\ \left(uv\right)\text{'}=u\text{'}v+uv\text{'} \\ {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{-v\text{'}}{v^2} \\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2} \\ \left(u\circ v\right)\text{'}=\left[u\text{'}\circ v\right]\times v\text{'} \\ {\left(u^n\right)}^{\text{'}}=nu\text{'}.u^{n-1} \\ {\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}}{2\sqrt{u}}} \end{gathered}$$

VII- La dérivabilité

7-4/ Dérivée et sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

f est croissante sur $I \iff \forall x\in I f\text{'}\left(x\right)\ge 0$

f est décroissante sur $I \iff \forall x\in I f\text{'}\left(x\right)\le 0$

f est constante sur $I \iff \forall x\in I f\text{'}\left(x\right)=0$

Exemple

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

Soit la fonction : $f:x\mapsto \frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left|x^2-1\right|}$

1. Étudier la limite de f en $x_0=-1$

2. Calculer les limites suiavantes :

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x^5-5} \\ B=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2-x-4}{\sqrt{x+5}+2x} \\ C=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{10-5x}{x^2-6x+9} \\ D=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{5x^3+x-1}}{2x-1} \\ E=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^4-2x^3+1}-x \\ F=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{2x^2-x+1}+3x \end{gathered}$$

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{4x^2+2}-2x \\ B=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 5x}{x\sin 3x} \\ C=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\tan \left(x-2\right)}{x^2-4} \\ D=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{3x+4}-\sqrt{5x-4}}{\sqrt{x+5}-3} \end{gathered}$$

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

1. Déterminer la fonction dérivée de $f$ et étudier sa monotonie :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^2+3x+1 \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\sqrt{x}+x^3 \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\frac{4x-3}{2x-1} \\ \overline{)4} f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4} \end{gathered}$$