Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 9 (Nombres complexes – Partie 1)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Introduction aux nombres complexes

1-1/ Définitions

1-2/ Vocabulaire

II- Présentation géométrique d’un nombre complexe

2-1/ Introduction

2-2/ Propriétés des affixes

III- Conjugué d’un nombre complexe

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Module d’un nombre complexe

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés 1

4-3/ Propriétés 2

V- Argument d’un nombre complexe non nul

5-1/ Définition

5-2/ Propriétés

VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul

6-1/ Définition

6-2/ Propriétés

VII- Opérations sur les formes trigonométriques

VIII- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

 


I- Introduction aux nombres complexes

 

1-1/ Définitions

Un nombre complexe est un nombre tel que son écriture est de la forme z=a+ib avec a,b2 et i est un nombre imaginaire avec i2=-1.

Les nombres complexes constituent un ensemble est appelé ensemble des nombres complexes, on le note .

L’ensemble  est muni de deux opérations : l’addition notée + et la multiplication notée ×, qui ont les mêmes propriétés de l’addition et de la multiplication dans  ( commutativité, associativité …. ).

a+bi=a'+b'ia=a' et b=b'

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Vocabulaire

Les nombres 1+i et 1-i sont appelés nombres complexes.

En général : un nombre complexe est écrit de la forme z=a+ib avec a,b2.

Le nombre complexe z'=a-ib avec a,b2 est appelé le nombre complexe conjugué de z noté z.

  • Exemple : z=3+4iz'=-5-2iz=3-4iz'=-5+2i

L’écriture z=a+ib avec a,b2 est appelée l’écriture (ou la forme ) algébrique de z.

Le réel a est appelé la partie réelle, et on note Rez=a.

Le réel b est appelé la partie imaginaire, et on note Imz=b.

 

 

1-3/ Opérations dans l’ensemble

z=x+yi,z'=x'+y'i avec x,y,x',y'

Addition dans

z+z'=x+yi+x'+y'i=x+x'+y+y'i

Multiplication dans

z×z'=x+yi×x'+y'i=xx'-yy'+xy'+yx'i

L’inverse de z

z=a+bi0a,b0,01z=1a+bi=zz.z=a-bia+bia-bi1z=aa2+b2-ba2+b2i

Le quotient de z par z'

zz'=x+yix'+y'i=z×z'z'×z'zz'=xx'+yy'x'2+y'2+yx'-xy'x'2+y'2i

Exemples

 

 

II- Présentation géométrique d’un nombre complexe

 

2-1/ Introduction

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct O,u,v.

À tout nombre complexe z=x+yi de  on lui associe le point Mx,y de P tel que :

fz=fx+yi=Mx,y

Le plan P est appelé le plan complexe.

Le point Mx,y est l’image du complexe z=x+yi.

 

 

 

2-2/ Propriétés des affixes

AzA , BzBCzC et IzI sont 4 points du plan complexe P.
 
Le vecteur AB a pour affixe zB-zA.

Le vecteur kAB a pour affixe kzB-zA.

Le point I milieu de AB a pour affixe zI=zA+zB2.

AC=kAB k càd zC-zA=kzB-zA , d’où les points A et B et C sont alignés (zB-zA0).

Exemple

 

 

III- Conjugué d’un nombre complexe

 

3-1/ Définition

Le nombre complexe z'=x-yi est appelé le conjugué du nombre complexe z=x+yi

On note z'=z=x-yi.

Exemple

 

 

 

3-2/ Propriétés

Soient z=x+yi et z'=x'+y'i deux nombres complexes avec x,y,x',y'4. On a :

z+z=2x=2Rezz-z=2y=2Imzz×z=x2+y2z=zz+z'=z+z'z×z'=z×z'zz=zziz=-z

 
Exemple

 

 

 

IV- Module d’un nombre complexe

 

4-1/ Définition

Soit z=x+yi avec x,y2.

Le nombre réel positif zz=x2+y2 s’appelle le module de z.

On le note z=zz=x2+y2.

Exemple

 

 

 

4-2/ Propriétés 1

Soient zA=xA+yAi et zB=xB+yBi et zC=xC+yCi les affixes des points A et B et C avec zAzC.

On a AB=zB-zA=xB-xA2+yB-yA2.

zB-zAzB-zA=ABAC

Si zB-zAzB-zA=ABAC=1 alors le triangle ABC est isocèle en A.

Exemple

 

 

 

4-3/ Propriétés 2

z=-z=z=-zz+z'z+z'z=0z=01z'=1z' et zz'=zz'z×z'=z×z'zp+zp ; p et z0

Exemple

 

 

V- Argument d’un nombre complexe non nul

 

5-1/ Définition

Soit Mz (MzOz0) est un point du plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct O,u,v.

Toute mesure α de l’angle orienté u,OM s’appelle argument du nombre complexe non nul z.

On note

argz=α2π

argz=u,OM2π

argz=α+2kπ ; k.

Exemple

 

 

 

 

5-2/ Propriétés

z et z' deux complexes non nuls :

argz×z'argz+argz' 2πarg1z'-argz' 2πargzz'argz-argz' 2πp ; argzpp×argz 2πk>0argkzargz 2πk<0argkzπ+argz 2π

Exemple

 

 

 

VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul

 

6-1/ Définition

Soit z=x+yi un nombre complexe non nul tel que argzα 2π et r=z.

Le nombre complexe non nul z s’écrit de les formes suivantes :

z=zcosα+isinαz=x2+y2cosα+isinα z,argz=r,α

Chaque écriture précédente est appelé la forme (ou l’écriture) trigonométrique du nombre complexe non nul z=x+yi.

Exemple

 

 

 

 

6-2/ Propriétés

z=a>0z=a,0z=a<0z=-a,πz=bi ; b>0z=b,π2z=bi ; b<0z=b,-π2z=r,α-z=r,π+αz=r,-α-z=r,π-α

Exemple

 

 

 

 

VII- Opérations sur les formes trigonométriques

 

z et z' deux complexes non nuls tel que : z=r,α=rcosα+isinαz'=r',α'=r'cosα'+isinα'

 

On a :

z×z'=r,α×r',α'=r×r',α+α'=rr'cosα+α'+isinα+α'zn=r,αn=rn,nα1,αn=1n,nα=1,nαcosα+isinαn=cosnα+isinnα1z'=1r',α'=1r',-α'zz'=r,αr',α'=rr',α-α'zz'=rcosα+isinαr'cosα'+isinα'=rr'cosα-α'+isinα-α'

Exemple

 

 

VIII- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

  1. Écrire les nombres complexes sous forme algébrique :

1 z1=12-3i2 z2=1-i3+i3 z3=2i1-2i+1+i2i4 z4=3+i1-5i5 z5=3-6i3+i+43-i

 

 

8-2/ Exercice 2

  1. Donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

1 z1=12+32i2 z2=6-2i3 z3=123-12i4 z4=1-i-3+i5 z5=1+3i1+i6 z6=1+i5

 

 

8-3/ Exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v.

On considère les points AB et C d'affixes respectives : zA=2-2i3 et zB=2+2i3 et zC=8.

  1. Donner une forme trigonométrique des nombres complexes zA , zB et zC .
  1. Placer les points AB et C sur le repère .

On pose : Z=zA-zCzB-zC

  1. Déterminer Z et argZ.
  1. En déduire la nature du triangle ABC.

 

 

8-4/ Exercice 4

On considère dans le plan complexe les points AB et C d'affixes respectives : zA=-2 et zB=1+i et zC=1-i.

  1. Placer les points AB et C sur un repère O,u,v.
  1. Déterminer le module et l'argument de Z=zA-zBzA-zC.
  1. Déduire une mesure de l'angle orienté AC,AB.
  1. Déterminer la forme algébrique puis une forme trigonométrique du quotient zA-zBzA.
  1. Déduire cosπ8 et sinπ8.

 

 

8-5/ Exercice 5

Dans le plan complexe, soit z=x+yi avec x et y.

On considère le nombre complexe U=z-2iz¯-1, et soit M l’image du nombre complexe z.

  1. Écrire en fonction de x et y la partie réel et la partie imaginaire de U.
  1. Déterminer l’ensemble des points Mz du plan tels que U est réel.
  1. Déterminer l’ensemble des points Mz tels que U est imaginaire pur.

 

8-6/ Exercice 6

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O;u;v.

on considère les points A, B, C, D, E et F qui ont pour affixes zA=2, zB=-2i, zC=2+2i, zD=3i, zE=-3 et zF=-2+2i

  1. Représenter les points A, B, C, D, E et F dans le plan complexe.
  1. En utilisant la représentation, déterminer l’argument des complexe zA, zB, zC, zD, zE et zF,