Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1

 

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes  l'équation z2+2z+2=0

On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v les points AB et C d’affixes respectivement a=-1+i , b=1+i, et c=1+3i.

Soit Mz un point du plan complexe et M'z' son image par la rotation R de centre O et d’angle 3π2.

  1. Montrer que z'=-iz
  1. Déduire que le point B est l’image du point A par la rotation R.
  1. Montrer que a-bc-b=12+i32.
  1. Écrire le nombre complexe 12+i32 sous la forme trigonométrique.
  1. Déduire que le triangle ABC est équilatéral.

 

II- Exercice 2

 

On considère la suite un définie par un+1=7un+42un+5u0=3n.

 

  1. Montrer que n un>2.

 

On pose : n vn=un-2un+1

  1. Montrer que n un=2+vn1-vn.
  1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 13 et écrire vn en fonction de n.
  1. Montrer que limnvn=0, puis déduire la limite de la suite un.

 

III- Exercice 3

 

Partie 1

Soit la fonction g définie sur ]0,+[ par gx=x2+x+3-3lnx.

  1. Montrer que g'x=2x+3x-1x pour tout x de ]0,+[
  1. Déduire que la fonction g est croissante sur l'intervalle [1,+[ et décroissante sur l'intervalle ]0,1].
  1. Déduire que x]0,+[  gx>0
Partie 2

On considère f définie sur ]0,+[ par fx=x+x+3xlnx.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Montrer que limx0+fx=-, puis interprété géométriquement ce résultat.
  1. Montrer que  limx+fx=+ et limx+fxx=1.
  1. Montrer que la courbe Cf admet une branche parabolique de direction la droite Δ d’équation y=x au voisinage de +.
  1. Montrer que x]0,+[  f'x=gxx2.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f.
  1. Étudier le signe de fx-x sur l’intervalle ]0,+[.
  1. Déduire que la courbe Cf est au dessus de Δ sur l’intervalle [1,+[, et au dessous de Δ sur l’intervalle ]0,1].
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique α dans l’intervalle ]0,+[ et que 1e<α<1.
  1. Tracer la droite Δ et la courbe Cf dans le repère O,i,j.