Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 6 (Limite d'une suite)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 


Sommaire

 

I- Généralité sur les suites

1-1/ Suite majorée – suite minorée – suite bornée

1-2/ La monotonie d’une suite

II- Suite arithmétique

2-1/ Définition

2-2/ La somme Sn

2-3/ Caractéristiques

III- Suite géométrique

3-1/ Définition

3-2/ La somme Sn

3-3/ Caractéristiques

IV- Limites d’une suite numérique

4-1/ Limite finie d’une suite

4-2/ Limite infinie d’une suite

4-3/ Convergence d’une suite numérique

V- Opérations sur les limites des suites

VI- Critères de convergences

VII- Suites particulières

7-1/ Suite de la forme un=qn avec q

7-2/ Suite de la forme un=nr avec r*

7-3/ Suite de la forme vn=fun

7-4/ Suite de la forme un+1=fun

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

 


I- Généralité sur les suites

 

1-1/ Suite majorée – suite minorée – suite bornée

Définitions

Une suite unnn0 est majorée par un réel M si et seulement si nn0 ; unM ou un<M

Une suite unnn0 est minorée par un réel m si et seulement si nn0 ; unm ou un>m

Une suite unnn0 est bornée si et seulement si unnn0 est majorée et minorée .

Exemples

 


I- Généralité sur les suites

 

1-2/ La monotonie d’une suite

Définitions

Une suite unnn0 est croissante si et seulement si nn0 ; unun+1

Une suite unnn0 est strictement croissante si et seulement si nn0 ; un<un+1

Une suite unnn0 est décroissante si et seulement si nn0 ; unun+1

Une suite unnn0 est strictement décroissante si et seulement si nn0 ; un>un+1

Une suite unnn0 est constante si et seulement si nn0 ; un=un+1

Exemples

 

 

 


II- Suite arithmétique

 

2-1/ Définition

Soient unnn0 une suite numérique et r un nombre réel non nul.

La suite un est arithmétique de raison r et de premier terme un0 équivaut à nn0 ; un+1-un=r  un+1=un+r

La suite un est arithmétique de raison r et de premier terme un0 équivaut à nn0 ; un=un0+n-n0r

Exemples

 

 

 


II- Suite arithmétique

 

2-2/ La somme Sn

Soit la somme suivante :

Sn=up+up+1+up+2+...+un

On a :

Sn=un+up2×n-p+1

Ou :

Sn=1er terme+dernier terme2×nombre de termes

Exemples

 

 

 


II- Suite arithmétique

 

2-3/ Caractéristiques

Propriété caractéristique

pn0 ; qn0 ; uq=up+q-pr ; p,q

Moyenne arithmétique

ui=a et ui+1=b et ui+2=c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r, on a a+c=2b

Exemple

 


III- Suite géométrique

 

3-1/ Définition

Soient unnn0 une suite numérique et q un nombre réel non nul.

La suite un est géométrique de raison q et de premier terme un0 équivaut à nn0 ; un+1=q.un

La suite un est géométrique de raison q et de premier terme un0 équivaut à nn0 ; un=un0.qn-n0

Exemples

 

 

 


III- Suite géométrique

 

3-2/ La somme Sn

Soit la somme suivante :

Sn=up+up+1+up+2+...+un

Si q1,on a :

Sn=qn-p+1-1q-1×up

Si q=1,on a :

Sn=i=pi=nup=n-p+1up

Exemples

 

 

 


III- Suite géométrique

 

3-3/ Caractéristiques

Propriété caractéristique

pn0 ; nn0 ; up=un×qp-n ; p,n

Moyenne géométrique

ui=a et ui+1=b et ui+2=c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r, on a a×c=b2

Exemple

 


IV- Limites d’une suite numérique

 

4-1/ Limite finie d’une suite

Définition

unnn0 est une suite numérique.
 
On dit que la limite de la suite un est le nombre réel l si pour tout intervalle ouvert Il et de centre l contient tous les termes de la suite un à partir d’un certain rang.

On note : limn+un=l

Propriétés

Si une suite a une limite alors cette limite est unique.

limn+1n=0 et limn+1n2=0 et  et limn+1ni=0 i* et limn+1n=0

limn+un-l=0limn+un=l

Exemple

 


IV- Limites d’une suite numérique

 

4-2/ Limite infinie d’une suite

Définition

unnn0 est une suite numérique.
 
On dit que la limite de la suite un est + si pour tout A de + l’intervalle ]A;+[ contient tous les termes de la suite un à partir d’un certain rang.

  • On note : limn+un=+

On dit que la limite de la suite un est - si pour tout A de - l’intervalle ]-;A[ contient tous les termes de la suite un à partir d’un certain rang.

  • On note : limn+un=-
Propriétés

Si une suite a une limite alors cette limite est unique.

limn+n=+ et limn+n2=+ et limn+ni=+ i* et limn+n=+

Exemple

 

 

 


IV- Limites d’une suite numérique

 

4-3/ Convergence d’une suite numérique

Définition

unnn0 est une suite numérique.

Si la limite de la suite un est finie on dit que la suite un est convergente.

Si la limite de la suite un est infinie ou la suite un n’a pas de limite on dit que la suite  est divergente.

Propriétés

Toute suite croissante et majorée est une suite convergente.

Toute suite décroissante et minorée est une suite convergente.

Exemple

 

 

 


V- Opérations sur les limites des suites

 

Propriété

Soient unnn0 et vnnn0 deux suites numériques.

Les opérations sur les suites sont les mêmes que les opération des fonctions.

  • Exemple : unnn0+vnnn0=un+vnnn0

Les propriétés des opérations des limites des suites sont les mêmes que celles des fonctions.

  1. Exemple 1 : Si limnun=l et limnvn=l' alors limnun+vn=l+l'
  1. Exemple 2 : Si limnun=l et limnvn=+ alors limnun+vn=+

Si limnun=l et un>0 alors l>0

Si limnun=l et limnvn=l' et vnun alors l'l

Exemple

 

 

 


VI- Critères de convergences

 

Critères

Soient unnn0 et vnnn0 et wnnn0 trois suites numériques tel que à partir d’un rang p on a pour tout npn0 n, α>0 et l

 

  1. Si vnunwn et limnvn=limnwn=l alors limnun=l
  1. Si vnα.un et limnun=+ alors limnvn=+
  1. Si vnα.un et limnun=- alors limnvn=-
  1. Si vn-lα.un et limnun=0 alors limnvn=l
Exemple

 

 

 


VII- Suites particulières

 

7-1/ Suite de la forme un=qn avec q

Propriété

Si q>1 alors limnun=+

Si q=1 alors limnun=1

Si -1<q<1 alors limnun=0

Si q-1 alors un n’a pas de limite.

Exemple

 

 

 


VII- Suites particulières

 

7-2/ Suite de la forme un=nr avec r*

Propriété

Si r>0 alors limnun=+

Si r<0 alors limnun=0

Exemple

 

 

 


VII- Suites particulières

 

7-3/ Suite de la forme vn=fun

Propriété

Si une suite unnn0 converge vers l (c.à.d. limnun=l) et f est une fonction continue en l alors la suite vnnn0 définie par vn=fun est convergente vers fl (c.à.d. limnvn=fl)

Exemple

 

 

 


VII- Suites particulières

 

7-4/ Suite de la forme un+1=fun

Définition

Soit une suite unnn0 tel que nn0 ; un+1=fun avec f  est une fonction.

Si on a :

  • f est une fonction continue sur un intervalle I.
  • fII
  • un0I (le premier terme).
  • La suite un est convergente (vers l).

Alors l est solution de l’équation xI ; fx=x (c.à.d. l vérifie l=fl).

Exemple

 

 

 


IIX- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

On considère la suite un définie par :

u0=13un+1=12un+7 ; n

  1. Démontrer par récurrence que un<14 pour tout n de .

On considère la suite vn définie par vn=14-un pour tout n de .

  1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 12, puis écrire vn en fonction de n.
  1. En déduire que un=14-12n pour tout n de , puis calculer la limite de la suite un.

 

 


IIX- Exercices

 

8-2/ Exercice 2

On considère la suite un définie par :

u0=4un+1=25un+3 ; n

  1. Démontrer par récurrence que un<5 pour tout n de .
  1. Vérifier que un+1-un=355-un pour tout n de , puis en déduire que un est croissante.
  1. En déduire que un est convergente.

On considère la suite vn définie par vn=5-un pour tout n de .

  1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 25, puis écrire vn en fonction de n.
  1. Montrer que un=5-25n pour tout n de , puis calculer la limite de la suite un.

 

 


IIX- Exercices

 

8-3/ Exercice 3

On considère la suite un définie par :

u0=2un+1=3+un5-un ; n

  1. Vérifier que un+1-un=355-un pour tout n de , puis démontrer par récurrence que un<3 pour tout n de .

On considère la suite vn définie par vn=3un-2 pour tout n de .

  1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 12, puis en déduire que vn=12n pour tout n de .
  1. Montrer que un=1+3vn1+un pour tout n de , puis écrire un en fonction de n.
  1. Calculer la limite de la suite un.

 

 


IIX- Exercices

 

8-4/ Exercice 4

Partie 1

On considère la fonction numérique f définie par : fx=4xx+22

  1. Déterminer Df l'ensemble de définition de la fonction f, puis calculer limx+fx.
  1. Étudier la dérivabilité de f en  à droite et interpréter le résultat géométriquement.
  1. Calculer f'x pour tout x>0.
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Étudier les positions relatives de Cf et la droite Δ d'équation y=x.
Partie 2

Soit un la suite définie par : u0=1un+1=fun ; n

  1. Montrer que n: 0un4.
  1. Déterminer le sens des variations de la suite un.
  1. Montrer que la suite un est convergente et déterminer sa limite.
Partie 3

Soit vn la suite définie par n: vn=1-2un

  1. Montrer que vn est une suite géométrique et déterminer sa raison.
  1. Calculer vn puis un en fonction de n.
  1. Calculer limn+un.

 

 


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