Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 5 (Dérivation et étude des fonctions – Partie 2)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Applications de la fonction dérivée première

1-1/ La monotonie d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée

1-2/ Extremums d’une fonction dérivable

II- Applications de la fonction dérivée seconde

2-1/ Position relative de la tangente et la courbe – la concavité

2-2/ Points d’inflexions

III- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction

3-1/ Centre de symétrie de la courbe d’une fonction

3-2/ Axe de symétrie de la courbe d’une fonction

IV- Branches infinies d’une fonction

4-1/ Branches infinies

4-2/ Asymptote verticale

4-3/ Asymptote horizontale

4-4/ Asymptote oblique

V- Bilan des branches infinies

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

 


I- Applications de la fonction dérivée première

 

1-1/ La monotonie d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée

Propriété

f est une fonction dérivable sur un intervalle I

Si la fonction dérivée f' est strictement positive sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
(même si f' s’annule en un points fini de I, ça ne change pas la monotonie de f)

Si la fonction dérivée f' est strictement négative sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
(même si f' s’annule en un points fini de I, ça ne change pas la monotonie de f)

Si la fonction f' est nulle sur I tout entier, alors f est constante.

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Extremums d’une fonction dérivable

Propriété 1

f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert Ia est un élément de I.
 
Si f est dérivable au point a et admet un extremum au point a alors f'a=0.

Remarque

f'a=0 ne signifie pas que fa est un extremum de la fonction f.

Exemple

 

 

 

Propriété 2

f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert Ia est un élément de I.

Si f' s’annule au point a et f' change de signe au voisinage de a alors fa est un extremum de la fonction f.

Exemple

 

 

 

II- Applications de la fonction dérivée seconde

 

2-1/ Position relative de la tangente et la courbe – la concavité

Propriété et définition

f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
 
Si xI : f"x>0, alors la courbe Cf est située au dessus des tangentes des points x tel que xI.

Dans ce cas on dit que la courbe Cf de f est convexe (ou sa concavité est dans le sens des ordonnés positives. On note ).

 

Si xI : f"x<0, alors la courbe Cf est située au dessous des tangentes des points x tel que xI.

Dans ce cas on dit que la courbe Cf de f est concave (ou sa concavité est dans le sens des ordonnés négatives. On note ).

Exemple

 

 

 

2-2/ Points d’inflexions

Propriété et définition

f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, et x0I.

Si la fonction dérivée seconde f" s’annule en x0 et f" change de signe au voisinage de x0, alors le point Ax0,fx0 est un point d’inflexion au courbe Cf.

Dans ce cas la tangente au point Ax0,fx0 coupe (ou traverse) la courbe Cf.

Exemple

 

 

III- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction

 

3-1/ Centre de symétrie de la courbe d’une fonction

Propriété

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

Le point Ia,b est centre de symétrie de la courbe CfxDf  ;  2a-xDfxDf  ;  f 2a-x+fx=2b

Exemple

 

 

 

3-2/ Axe de symétrie de la courbe d’une fonction

Propriété

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

La droite d’équation D : x=a est axe de symétrie de la courbe CfxDf  ;  2a-xDfxDf  ;  f 2a-x=fx

Exemple

 

 

IV- Branches infinies d’une fonction

 

4-1/ Branches infinies

Définition

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

Si au moins une des coordonnées d’un point M de la courbe de Cf tend vers l’infinie, on dit que la courbe Cf admet une branche infinie.

Exemple

 

 

 

 

4-2/ Asymptote verticale

Définition

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

Si limxa+fx=± et limxa-fx=±, alors la droite d’équation x=a est une asymptote verticale à Cf (à droite de a ou à gauche de a).

Exemple

 

 

 

4-3/ Asymptote horizontale

Définition

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

Si limx+fx=b (ou limx-fx=c), alors la droite d’équation y=b (ou y=c) est une asymptote horizontale à Cf au voisinage de + (ou -)

Exemple

 

 

 

4-4/ Asymptote oblique

Définition

Soit Cf la courbe représentative d’une fonction définie sur Df (tel que ]a,+[Df ou ]-,a[Df)dans un plan P rapporté à un repère orthonormé O,i,j.

Si limx±fx-ax+b=0 , alors la droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique à Cf au voisinage de ±.

Exemple

 

 

 

Propriétés

Si la droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique à Cf au voisinage de± , donc pour déterminer a et b on calcule les limites suivantes :

Pour déterminer a on calcule limx±fxx=a*

Pour déterminer b on calcule limx±fx-ax=b b±

Les cas particuliers :

  • 1er cas particulier : a=±, on dit que Cf admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés.
  • 2nd cas particulier : a=0, on dit que Cf admet une branche parabolique de direction  l’axe des abscisses .
  • 3ème cas particulier : b=± avec a*, on dit que Cf admet une branche parabolique de direction la droite d’équation y=ax.
Exemples

 

 

 

V- Bilan des branches infinies

 

 

 

 

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

On considère la fonction numérique f définie par fx=x+2x+1, et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j (unité de 1 cm).

  1.  

a- Déterminer Df le domaine de définition de la fonction f.

b- Calculer limx+fx et limx-1+fx, puis interpréter géométriquement le deuxième résultat.

c- Montrer que la courbe Cf admet une asymptote oblique Δ au voisinage de + dont on déterminera son équation.

d- Étudier la position relative de la courbe Cf et la droite Δ.

  1.  

a- Montrer que f'x=1-1x+1x+1 pour tout x de Df.

b- Montrer que pour tout x de ]-1,0] on a 1x+1x+11, puis en déduire le signe de f'x sur ]-1,0].

c- Montrer que pour tout x de [0,+[ on a 1x+1x+11, puis en déduire le signe de f'x sur [0,+[.

d- Dresser le tableau de variations de la fonction f sur Df.

e- Donner l’équation de la tangente T à la courbe Cf au point x0=0.

  1. Construire la droite Δ et la tangente T et la courbe Cf de f dans le même repère O,i,j.
  1.  

a- Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f-1 définie sur l’intervalle J qu'on déterminera.

b- Montrer que la fonction réciproque f-1 est dérivable sur l’intervalle J.

c- Construire dans le même repère O,i,j la courbe représentative Cf-1 de la fonction f-1.

 

 

6-2/ Exercice 2

On considère la fonction numérique f définie par fx=x-1x2-2x+2, et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j (unité de 2 cm).

  1.  

a- Montrer que f est définie sur Df=.

b- Calculer limx+fx et limx-fx, puis interpréter géométriquement les deux résultats.

  1.  

a- Montrer que f'x=1x2-2x+2x2-2x+2 pour tout x de .

b- Montrer que la fonction f est croissante sur Df.

c- Dresser le tableau de variations de la fonction f sur .

  1.  

a- Montrer que le point I1;0 est un centre de symétrie de la courbe Cf.

b- Donner l’équation de la tangente T à la courbe Cf au point I.

  1. Construire la tangente T et la courbe Cf de f dans le même repère O,i,j.
  1.  

a- Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f-1 définie sur l’intervalle J qu'on déterminera.

b- Construire dans le même repère O,i,j la courbe représentative Cf-1 de la fonction f-1.

c- Calculer f1, puis montrer que la fonction réciproque f-1 est dérivable en 0 puis calculer f-1'0.

 

 

6-3/ Exercice 3

On considère la fonction numérique f définie sur [0,+[ par fx=x-1x-1 ; x[0,1[]1,+[f1=12

Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j (unité de 2 cm).

  1.  

a- Calculer limx+fx, puis interpréter géométriquement le résultat.

b- Étudier la continuité de la fonction f au point x0=1.

  1.  

a- Montrer que la fonction f est dérivable au point x0=1 et le nombre dérivé est f'1=-18.

b- Donner l’équation de la tangente T à la courbe Cf au point x0=1.

c- Étudier la dérivabilité à droite de la fonction f au point x0=0.

d- Vérifier la fonction dérivée de f sur ]0,+[/1 est f'x=-x-122xx-12.

e- Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0,+[.

  1. Construire la courbe Cf de f dans le repère O,i,j.

On considère g la restriction de la fonction f sur I=[0,+[.

4) a- Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g-1 définie sur l’intervalle J qu'on déterminera.

4) b- Calculer g4 puis montrer que la fonction réciproque g-1 est dérivable en 13 puis calculer g-1'13.

 

 

6-4/ Exercice 4

On considère la fonction numérique f définie sur Df=]-,-1[]-1,+[ par :

fx=x4x3+x2 ; x-1 et x0f0=0

Soit Cf la courbe représentative de la fonction  dans un repère orthonormé O,i,j (unité de 1 cm).

  1.  

a- Calculer limx-1-fx et limx-1+fx puis interpréter géométriquement les résultats.

b- Calculer limx+fx et limx+fx-x-1 puis interpréter géométriquement les résultats.

c- Calculer limx-fx.

d- Montrer que Cf admet au voisinage de - une asymptote oblique au voisinage de - dont on déterminera l’équation.

e- Étudier la position relative de la courbe Cf et la droite D d’équation y=x-1 sur Df.

  1.  

a- Calculer limx0fxx puis interpréter géométriquement le résultat.

b- Calculer f'x pour tout x de ]-,-1[]-1,0[]0,+[, puis vérifier que f'x=x5x+2x3+x22.

c- Étudier le signe def'x  sur ]-,-1[]-1,0[]0,+[.

d- Dresser le tableau de variations de la fonction f sur Df.

e- Écrire l’équation réduite de la tangente à Cf au point x0=0.

  1. Construire dans le repère O,i,j la droite D et la courbe Cf (unité de 1 cm).

On considère g la restriction de la fonction f sur I=]-1,0].

4) a- Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g-1 définie sur l’intervalle J qu'on déterminera.

4) b- Calculer g12 puis montrer que la fonction réciproque g-1 est dérivable en 16.

4) c- Calculer g-1'16.

 

 

6-5/ Exercice 5

Soit la fonction : fx=xx2+1x2-1

Soit Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan O,i,j.

  1. Déterminer Df, puis étudier la continuité et la dérivabilité de f sur Df. Justifier les réponses.
  1. Étudier la parité de f et en déduire un élément de symétrie de Cf.
  1. Étudier les limites de f aux bornes de Df, et en déduire les asymptotes éventuelles à Cf.
  1. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
  1. Étudier la concavité de Cf et résumer cette étude dans un tableau.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à Cf au point d’abscisse 0.
  1. Étudier la position de Cf par rapport à T.
  1. Tracer Cf et T dans le repère O,i,j.

 

 

6-5/ Exercice 6

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  par : gx=1+xx2+1.

  1. Calculer limx-gx. et limx+gx
  1. Vérifier que : g'x=1x2+1x2+1.
  1. En déduire que : x; gx>0.
Partie 2

Soit f la fonction définie sur par : fx=x-1+x2+1.

  1. Vérifier que pour tout réel x on a : f'x=gx.
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que limx-fx=-1. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Montrer que la droite D : y=2x-1 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de +.
  1. Tracer Cf et D dans un repère orthonormé O,i,j.