Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 4 (Dérivation et étude des fonctions – Partie 1)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Dérivabilité d’une fonction en un point x0 – Dérivabilité à droite et à gauche en un point x0

1-1/ Dérivabilité

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées f'x0 et f'dx0 et f'gx0

II- Dérivabilité sur un intervalle

III- La fonction dérivée première d’une fonction – la fonction dérivée seconde – dérivée nième d’ une fonction

IV- Les opérations sur les fonctions dérivables

V- Dérivabilité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et fnx

VI- Dérivabilité de la composée de deux fonctions

VII- La fonction dérivée de la fonction réciproque

IIX- Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles

IX- Exerccies

9-1/ Exerccie 1

9-2/ Exerccie 2

9-3/ Exerccie 3

9-4/ Exerccie 4

9-5/ Exerccie 5

9-6/ Exerccie 6

 


I- Dérivabilité d’une fonction en un point x0 – Dérivabilité à droite et à gauche en un point x0

 

1-1/ Dérivabilité

Définitions

Soit une fonction f tel que son domaine de définition contient un intervalle ouvert I et x0I

f est dérivable au point x0limxx0fx-fx0x-x0=l limh0fx0+h-fx0h=l

l=f'x0 s’appelle le nombre dérivé de f en x0

 

f est dérivable à droite de x0limxx0+fx-fx0x-x0=l limh0+fx0+h-fx0h=l

l=f'dx0 s’appelle le nombre dérivé à gauche de f en x0

 

f est dérivable à gauche de x0limxx0-limfx-fx0x-x0=l limh0-limfx0+h-fx0h=l

l=f'gx0 s’appelle le nombre dérivé à gauche de f en x0

Exemple

 

 

 

 

Propriété

Soit une fonction f

f est dérivable au point x0f est dérivable à droite et à gauche et f'dx0=f'gx0

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées f'x0 et f'dx0 et f'gx0

Interprétation géométrique des nombres dérivées f'x0

f est une fonction dérivable au point x0.
 
Cf sa courbe représentative dans un repère O;i;j.
 
Le nombre dérivé f'x0 est le coefficient directeur de la droite tangente T à la courbe Cf au point Ax0,fx0 (le point x0).

L'équation cartésienne de la tangente T à la courbe Cfau point x0 est T : y=x-x0f'x0+fx0.

Si f'x0=0 alors la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

Exemple

 

 

 

 

Interprétation géométrique des nombres dérivées f'dx0 et f'gx0

Si f est dérivable à droite de x0, alors on a une demi-tangente à droite de x0 de coefficient directeur f'dx0.

L'équation de la demi tangente à droite de x0 est Td : y=x-x0f'dx0+fx0 avec xx0.

Si f est dérivable à gauche de x0, alors on a une demi-tangente à gauche de x0 de coefficient directeur f'gx0.

L'équation de la demi tangente à gauche de x0 est Tg : y=x-x0f'gx0+fx0 avec xx0.

Si f'dx0f'gx0, alors f n’est pas dérivable en x0 et le point Ax0,fx0 est appelé point anguleux.

Exemple

 

 

 

 

Remarque

Si f n’est pas dérivable à droite (c.à.d. limxx0+fx-fx0x-x0=±), dans ce cas on a une demi tangente à droite de x0 parallèle à l’axe des ordonnées.

Si  n’est pas dérivable à gauche (c.à.d. limxx0-fx-fx0x-x0=±), dans ce cas on a demi tangente à gauche de x0 parallèle à l’axe des ordonnées.

Exemple

 

 

 

II- Dérivabilité sur un intervalle

 

Définitions

f est une fonction dérivable sur I=]a,b[f est dérivable en tout point x0 de I.

f est une fonction dérivable sur I=[a,b[f est dérivable sur I=]a,b[ et f est dérivable à droite du point a.

f est une fonction dérivable sur I=]a,b]f est dérivable sur I=]a,b[ et f est dérivable à gauche du point b.

f est une fonction dérivable sur I=[a,b]f est dérivable sur I=]a,b[ et f est dérivable à droite de a et à gauche de b.

Exemple

 

 

 

III- La fonction dérivée première d’une fonction – la fonction dérivée seconde – dérivée nième d’ une fonction

 

Définitions

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
 
La fonction g qui relie chaque élément x de I par le nombre f'x s’appelle la fonction dérivée de f et on note g=f'.

g s’appelle la fonction dérivée de f.

La fonction dérivée de f' sur I s’appelle la fonction dérivée seconde (dérivée d’ordre 2), on la note f'' ou f2.

En général : la dérivée d’ordre n de f est la fonction dérivée de fn-1 (la dérivée de la fonction dérivée d’ordre n-1), et on note fnx=fn-1'x.

Exemple

 

 

 

IV- Les opérations sur les fonctions dérivables

 

Propriété

Soient f et g deux fonctions dérivables sur I.

On a :

La fonction f+g est dérivable sur I et f+g'x=f'x+g'x

La fonction αf est dérivable sur I et αf'x=αf'x

La fonction f×g est dérivable sur I et f×g'x=f'xgx+fxg'x

La fonction 1g est dérivable sur I xI,gx0 et 1g'x=-g'xg2x

La fonction fg est dérivable sur I xI,gx0 et fg'x=-f'xgx-fxg'xg2x

Exemple

 

 

 

V- Dérivabilité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et fnx

 

Propriété

Toute fonction polynomiale est dérivable sur son ensemble de définition Df= et axn'=naxn-1 n*.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition Df.

f est une fonction dérivable sur un intervalle I :

La fonction fn avec n* est dérivable sur I et on a fn'x=nfn-1 xf'x.

Si pour tout xI, fx0, on a la fonction fpx avec p* est dérivable sur I et fp'x=pfp-1 xf'x.

La fonction fx=cosx est dérivable sur  avec f'x=-sinx.

La fonction fx=sinx est dérivable sur  avec f'x=cosx.

La fonction fx=tanx est dérivable sur /π2+kπ;k avec f'x=1+tan2x=1cos2x

Exemple

 

 

 

VI- Dérivabilité de la composée de deux fonctions

 

Propriété

Si f est dérivable en x0 et g est dérivable en fx0, alors la fonction gf est dérivable en x0 et on a :

gf'x0=f'x0×g'fx0

Application

fx'=f'x2xfx ; xDf et fx>0

sinax+b'=a.cosax+b ; x

cosax+b'=-a.sinax+b ; x

tanax+b'=a.1+tan2ax+b=acos2ax+b ; ax+bπ2+kπ ; k

Exemple

 

 

 

VII- La fonction dérivée de la fonction réciproque

 

Théorème

 Si f est dérivable en x0 et fx00, alors la fonction f-1 est dérivable en y0=fx0

et f-1'fx0=1f'x0

ou encore f-1'y0=1f'f-1y0

Application:

x+*   (xn)'=1n×xn-1nxI :   (f(x)n)' = f'(x)n×f(x)n-1n

 
Exemple

 

 

 

IIX- Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles

 

 

 

 

IX- Exerccies

 

9-1/ Exerccie 1

  1. Dans chacun des cas suivantes, étudier la dérivabilité de la fonction f en x0 et interpréter le résultat graphiquement :

1 fx=x3-x2+2x+1 si  x-1f-1=5 ; x0=-12 fx=x3-3x+2x-1 si  x<1fx=x2+x-2 si  x1 ; x0=1

 

 

9-2/ Exerccie 2

  1. Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f dans chacun des cas suivants :

1 fx=x2+x+12 fx=x3-4xx2+13 fx=x2-2xx-144 fx=x3×cosx2-x5 fx=x5×x2-3x+53

 

 

9-3/ Exerccie 3

  1. Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f dans chacun des cas suivants :
1 fx=2x+3x2+1x2 fx=x+2×5x-343 fx=3x-52-x4 fx=sin3x 5 fx=sin2xcos3x6 fx=tan3x7 fx=x1138 fx=x2-7x+125

 

 

9-4/ Exerccie 4

On considère la fonction numérique f définie par : fx=-x+x2-x

  1. Déterminer Df le domaine de définition de la fonction f.
  1. Calculer limx-fx et limx+fx et limx-fxx.
  1. Étudier la dérivabilité à gauche de f au point x0=0 puis interpréter le résultat graphiquement.
  1. Calculer limx1+fx+1x-1, puis interpréter le résultat graphiquement.
  1. Montrer que  pour tout x de ]-,0[ on a f'x=-1+2x-12x2-x puis déterminer son signe sur ]-,0[.
  1. Calculer f'x pour tout x de ]1,+[ puis déterminer son signe sur ]1,+[.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur Df.

Soit g la restriction de la fonction f à l’intervalle ]-,0].

  1. Montrer que la restriction g admet une fonction réciproque g-1 définie sur l’intervalle J qu’on déterminera.
  1. Calculer g2 et g-1'-2+2.

 

 

9-5/ Exerccie 5

Soit f la fonction définie sur  par :

fx=x3-8x-2 si x]-;2[fx=x+2+10 si x[2;+[

  1. Calculer f2 et limx2fx.
  1. Est-ce que la fonction f est continue en 2 ?
  1. Étudier la continuité de f sur .
  1. Étudier la dérivabilité de f en 2, et interpréter géométriquement les résultats.

 

 

9-6/ Exerccie 6

On considère la fonction numérique f définie par : fx=x3+3x-2

  1. Montrer que l’équation fx=0 une seule solution α sur [0;+[, et que α]0;1[.
  1. Donner un encadrement d’amplitude 0,125 de α.
  1. En déduire que x0;α; fx0 et x[α;+[; fx0.
  1. Montrer que f admet une fonction réciproque f-1 définie sur un intervalle J que l’on précisera.
  1. Calculer f0f-1-2 et f-1'-2.