Math 2Bac SPC - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f\left(x\right)=x-2\sqrt{x}+2$.

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer $D_f$ et calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Étudier les branches infinies de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

3. Étudier la position relative de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et la droite $\left(\Delta \right)$ d’équation $\left(\Delta \right):y=x$.

4. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $0$.

5. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$.

6. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

7. Construire $\left(\Delta \right)$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+n-2\\ u_0=1\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

8. Montrer par récurrence que $u_n>1 \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

9. Montrer que $\left(u_n\right)$ est décroissante, en déduire qu’elle est convergente.

10. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

II- Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+n-2\\ u_0=1\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n\ge 4$, on a $u_n\ge 0$.

3. En déduire que pour tout entier naturel $n\ge 5$, on a $u_n\ge n-3$.

4. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

5. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

6. En déduire que $u_n=\frac{25}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\frac{3}{2}n-\frac{21}{4} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

Soit la somme $S_n$ définie par : $S_n=u_0+u_1+u_2+.....u_n \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

7. Déterminer l’expression de $S_n$ en fonction de $n$.