Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 2 (Continuité – Partie 1)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0

1-1/ Continuité d’une fonction en un point x0

1-2/ Continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0

II- Continuité sur un intervalle

2-1/ Définitions

III- Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle I

3-1/ Propriétés

IV- Continuité des fonctions usuelles

4-1/ Propriétés

V- Image d’un intervalle par une fonction continue

5-1/ Propriétés

VI- Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

VII- Continuité de la composée de deux fonctions continues

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

 


I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0

 

1-1/ Continuité d’une fonction en un point x0

Définition

f est une fonction définie sur Df et Ix0 est un intervalle ouvert et contient x0 et inclus dans Df

f est continue au point x0limxx0fx=fx0

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0

Définition 1

f est une fonction définie sur Df et Id=[x0,x0+r[ ; r>0 est un intervalle inclus dans Df

f est continue à droite au point x0limxx0x>x0fx=fx0

Définition 2

f est une fonction définie sur Df et Ig=]x0-r,x0] ; r>0 est un intervalle inclus dans Df

f est continue à gauche au point x0limxx0x<x0fx=fx0

Propriété

f est continue au point x0 si et seulement si f continue à droite et à gauche de x0.

Ou encore :

f est continue au point x0limxx0x>x0fx=limxx0x<x0fx=fx0

Exemples

 

 

 

II- Continuité sur un intervalle

 

2-1/ Définitions

f est continue sur un intervalle ouvert I=]a,b[ pour tout x de I ; f est continue en x.

f est continue sur [a,b[f est continue sur ]a,b[ et f est continue à droite de a.

f est continue sur ]a,b]f est continue sur ]a,b[ et f est continue à gauche de b.

f est continue sur [a,b]f est continue sur ]a,b[ et f est continue à droite de a et à gauche de b.

Exemples

 

 

 

III- Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle I

 

3-1/ Propriétés

f est continue sur I et g est continue sur I.

Les fonctions f+g et f×g et αf α sont continues sur I.

Les fonctions 1g et fg sont continues sur I ( pour xI tel que gx0).

Exemples

 

 

 

IV- Continuité des fonctions usuelles

 

4-1/ Propriétés

Toute fonction polynomiale est continue sur .

Toute fonction rationnelle est continue sur toute intervalle inclu dans Df.

Les fonctions xsinx et xcosx sont continues sur .

La fonction xtanx  est continue sur toute intervalle inclu dans -π2+kπ ; k.

La fonction xx est continue sur [0,+[.

Exemples

 

 

 

V- Image d’un intervalle par une fonction continue


5-1/ Propriétés

L'image du segment [a,b] par une fonction continue est un segment J=m,M (m est la plus petite image et M est la plus grande image par f des éléments de [a,b]) càd f[a,b]=m,M

L'image d’un intervalle I par une fonction continue est un intervalle J. On note J=fI

Exemples

 

 

 

VI- Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

 

 

VII- Continuité de la composée de deux fonctions continues

 

1-1/ Théorème

f est continue en x0 et g est continue en fx0, alors la fonction gof est continue en x0

f est continue sur I et g est continue sur fI, alors la fonction gof est continue sur I

1-2/ Applications

fx=sinax+b et gx=cosax+b sont continues sur

hx=tanax+b est continue pour tout x tel que ax+bπ2+kπ
 
Si f est positive et continue sur I alors gx=fx est continue sur I.

Exemples

 

IIX- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

  1. Étudier la continuité de f en x0 dans les cas suivants :

a- x0=5 et f(x)=x2-2x-15x2-25 ; x \ {-5;5}f(5)=8

b- x0=-1 et f(x)=2x3+1 ; x \ {-1}f(-1)=3

c- x0=3 et f(x)=x-3x-3 ; x[0;+[ \ {3}f(3)=123

​Soit f la fonction numérique de la variable x définie par : 

 f(x)=1x+1  ;  0x<12f(x)=2x+ax2 ; 12x1

  1. Déterminer la valeur de a pour que f est continue en x0=12
  1. Etudier la continuité de f en x0 :

 x0=1 et f(x)=x2-3x+2x-1 ; x>1f(x)=x-12-x-1 ; x<1f(1)=-1

 

 

8-2/ Exercice 2

On considère la fonction f définie sur [2;+[ par :

x >2, f(x)=x2-4x-2f(2)=4

  1. Étudier la continuité de f sur [2;+[

 

 

8-3/ Exercice 3

  1. Calculer l’image de l’intervalle I par f dans les cas suivantes:

a- f(x)=x2-2x+3 ; I=[-2;3]

b- f(x)=x-1x+2 ; I=]-2;+[

c- f(x)=13x3-x2+3x-1 ; I=]-;1]

 

 

8-4/ Exercice 4

  1. Étudier la continuité de f sur I dans les cas suivants :

a- f(x)=x2-1 ; I=[1;+[

b- f(x)=-sin2(x)+sin(x)+2 ; I=[0;π6[

 

 

8-5/ Exercice 5

On considéré la fonction f définie par f2=4 et fx=x3-8x2-x-2 si x2

  1. Déterminer Df.
  1. Montrer que f est continue en x0=2.
  1. Vérifier que : x--1, fx=x2+2x+4x+1
  1. Justifier que f est continue sur chacun des intervalles ]-;-1[ et ]-1;+[.

 

 

8-6/ Exercice 6

On considéré la fonction f définie par f1=a et fx=x2x+3-21-x2 si x1a.

  1. Déterminer Df, puis calculer limx+fx.
  1. Pour quelle valeur de a la fonction f est-elle continue en x0=1 ?