Math 2Bac SPC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1

(Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes)

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }2x-x^3= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{1+x^2}-x= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-4x^2}{2x+1}= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }2x^2+1-\sqrt{1+x^2}= \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}= \\ \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}= \end{gathered}$$​

2. Montrer que :

$\frac{\sqrt[3]{2}\times \sqrt[6]{32}}{\sqrt[3]{\sqrt{8}}}=\sqrt[3]{4}$

3. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations et inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} {\left(1-x\right)}^3=-8 \\ \sqrt[3]{x+2}<2 \\ {x}^6+2x^3-3=0 \end{gathered}$$

II- Exercice 2

Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}h\left(x\right)=\frac{x^3+x-2}{x-1} , x\ne 1\\ h\left(1\right)=4\end{array}\right.$

1. Montrer que la fonction $h$ est continue sur les intervalles $]-\infty ,1[$ et $]1,+\infty [$.

2. Est-ce que $h$ est continue sur $\mathrm{ℝ}$ ?

III- Exercice 3

1. Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathrm{ℝ}$ et que $0<\alpha <1$.

2. En utilisant la méthode de dichotomie donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,25$.

3. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l'inéquation $x^3+x-1>0$.

4. Donner le tableau de variation de la fonction $g$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$g:x\mapsto \frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2-x+1$

IV- Exercice 4

Soit $f$ la fonction numérique définie sur ${\mathrm{ℝ}}_{*}^{+}$ par $f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{x}$.

1. Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle ${\mathrm{ℝ}}_{*}^{+}$.

2. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle ${\mathrm{ℝ}}_{*}^{+}$.

3. Déduire que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ en déterminant son domaine de définition.

4. Calculer $f^{-1}\left(0\right)$ et $f^{-1}\left(\frac{-3}{2}\right)$.

5. Comparer les deux nombres $f^{-1}\left(\sqrt{2}\right)$ et $f^{-1}\left(\sqrt[3]{2}\right)$.

6. Déterminer $f^{-1}\left(x\right)$ pour tout $x$ appartenant au domaine de définition de $f^{-1}$.