Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 8 (Fonctions logarithmiques)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Fonction logarithme népérienne

1-1/ Définition

1-2/ Conséquences

1-3/ Signe de ln(x)

II- Propriétés algébriques

III- Limites

3-1/ Propriétés

3-2/ Remarques

IV- Étude de la fonction f(x)=lnx

V- Fonction de la forme fx=lnux

5-1/ Définition

5-2/ Vocabulaire et remarque

VI- Fonction logarithme de base a

6-1/ Définition

6-2/ Cas particuliers

6-3/ Propriétés

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

 


I- Fonction logarithme népérienne

 

1-1/ Définition

La fonction primitive F de fx=1x sur l’intervalle ]0,+[ qui s’annule en 1 F1=0 s’appelle la fonction logarithme népérienne

Elle est notée Fx=lnx ou Fx=lnx.

Avec F'x=fxlnx'=1x

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Conséquences

ln1=0

La fonction fx=lnx est définie sur ]0,+[.

La fonction fx=lnx est dérivable sur ]0,+[ (car lnx'=1x).

La fonction fx=lnx est continue sur ]0,+[ (car la fonction logarithme népérienne est dérivable).

La fonction fx=lnx est strictement croissante sur ]0,+[ (car lnx'=1x>0).

Exemple

 

 

 

1-3/ Signe de ln(x)

Soit x]0,+[

Si : x=1, donc : ln1=0.

Puisque xln(x) est strictement croissante sur ]0,+[

Si : x]1,+[, donc : x>1lnx>ln1=0

Si : x]0,1[, donc : x<1lnx<ln1=0

 

 

II- Propriétés algébriques

 

Pour tous a>0 et b>0 et r, on a :

lnab=lna+lnbln1a=-lnalnab=lna-lnblnar=r.lna

Exemple

 

 

III- Limites

 

3-1/ Propriétés

limx+lnx=+limx0+lnx=-limx0+xlnx=0-limx0+xnlnx=0- limx+lnxx=0limx+lnxxn=0limx1lnxx-1=1limx0lnx+1x=1
Exemple

 

 

 

3-2/ Remarques

limx0+lnx=- , donc la courbe Cf admet une asymptote verticale : c’est la droite d’équation x=0 (l’axe des ordonnées).

limx+lnx=+ , donc la courbe Cf admet une branche parabolique (à déterminer ).

limx+lnxx=0 , donc la courbe  admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.

 

 

 

IV- Étude de la fonction f(x)=lnx

 

Domaine de définition :

 

Continuité :

 

Limites :

 

Sens de variation de f :

 

 

 

 

V- Fonction de la forme fx=lnux

 

5-1/ Définition

On pose gx=lnx et la fonction ux, donc : fx=gux=gux=lnux.

Conclusion : la fonction fx=lnux est la composée de deux fonctions.

Domaine de définition de f : xDfxDu et ux>0.

Si de plus la fonction ux est dérivable on a : lnux'=u'xux.

De même on a : lnux'=u'xux.

Exemple

 

 

 

5-2/ Vocabulaire et remarque

Soit u une fonction dérivable sur I et xI : ux0.

La fonction xu'xux est appelée la dérivée logarithmique de la fonction u sur I.

Puisque lnux'=u'xux, donc les fonctions primitives de la fonction xu'xux sur I sont les fonctions de la forme Fx=lnux+c avec c.

Exemple

 

 

VI- Fonction logarithme de base a

 

6-1/ Définition

Soit a]0,1[]1,+[ (c.à.d. a strictement positif et différent de 1).

La fonction définie par :

f : ]0,+[     xfx=lnxlna

S’appelle la fonction logarithme de base a.

On note cette fonction par f=loga d’où : fx=logax

Exemple

 

 

 

6-2/ Cas particuliers

Cas a=e

logex=lnxlne=lnx ,donc le logarithme de base e est le logarithme népérien.

Cas a=10

On obtient la fonction fx=log10x qui s’appelle la fonction logarithme décimale.

On note log10=log

On a :

log10r=rlog10=1log1=0

Exemple

 

 

 

6-3/ Propriétés

Soit a]0,1[]1,+[ et pour tout x,y]0,+[ on a :

logax×y=logax+logayloga1x=-logaxlogaxy=logax-logaylogaxr=r×logax ; rlogax=12×logaxlogax3=13×logax

 

 

 

VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

Soit la fonction g définie sur ]0,+[ par gx=1-1x2+lnx.

  1. Montrer que g'x=2x3+1x pour tout x de ]0,+[, et en déduire que la fonction g est croissante sur ]0,+[.
  1. Vérifier que g1=0, puis en déduire que gx0 pour tout x]0,1] et gx0 pour tout x[1,+[.

On considère f définie sur ]0,+[ par fx=1+lnx2+1x2.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j (unité 1 cm)

  1. Montrer que limx0+fx=+, puis interprété géométriquement ce résultat.
  1. Calculer limx+fx.
  1. Montrer que limx+1+lnx2x=0 (on pourra poser t=x), puis montrer que limx+fxx=0.
  1. Déterminer la branche infinie de Cf au voisinage de +.
  1. Montrer que f'x=2gxx pour tout x]0,+[, puis en déduire que la fonction f est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+[.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0,+[ puis en déduire que fx2 pour tout x]0,+[.
  1. Construire la courbe Cf de f dans le repère orthonormé O,i,j (on admettra que la courbe de f possède un seul point d’inflexion, on ne le déterminera pas).

 

 

7-2/ Exercice 2

Soit la fonction g définie sur ]0,+[ par gx=2x-1+2lnx.

On considère le tableau de variations de la fonction g sur ]0,+[ :

  1. Calculer g1.
  1. En déduire à partir du tableau que gx>0 pour tout x]0,+[.

On considère f définie sur ]0,+[ par fx=3-3x+2x+1lnx.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j (unité 2 cm)

  1. Montrer que limx0+fx=-, et interpréter géométriquement ce résultat.
  1. Montrer que limx+fx=+ (pour le calcul de la limite on pourra utiliser l’écriture suivante fx=x3x-3+21+1xlnx)
  1. Montrer que la courbe Cf admet au voisinage de + une branche parabolique dont la direction
    est celle de l’axe des ordonnées.
  1. Montrer que f'x=gx pour tout x]0,+[.
  1. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur ]0,+[, et dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0,+[.
  1. Montrer que I0,1 est un point d’inflexion de la courbe Cf.
  1. Montrer que y=x est l’équation de la droite T tangente à la courbe Cf au point I.
  1. Construire dans le même repère O,i,j la droite T et la courbe Cf.

 

 

7-3/ Exercice 3

Soit la fonction g définie sur ]0,+[ par gx=xx-1+lnx.

  1. Calculer g'x pour tout x]0,+[.
  1. Étudier les variations de la fonction g.
  1. Calculer g1, puis déduire le signe de gx sur ]0,+[.

Soit f la fonction définie sur ]0,+[ par fx=x-12+ln2x.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j (unité 1 cm)

  1. Calculer limx0+fx, et interpréter le résultat géométriquement.
  1. Calculer limx+fx et limx+fxx, puis étudier la branche infinie de la courbe Cf au voisinage de +.
  1. Montrer que x]0,+[ : f'x=2gxx.
  1. En déduire les variations de f sur Df.
  1. Tracer Cf dans un repère orthonormé O,i,j.

Soit h la restriction de f à l'intervalle I=]0,1].

  1. Montrer que la fonction h admet une fonction réciproque h-1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  1. Tracer Ch-1 dans le repère O,i,j.

 

 

7-4/ Exercice 4

Partie 1

Soit g la fonction numérique définie sur ]0,+[ par : gx=x2+x-2+2lnx

  1. Vérifier que g1=0.

Soit le tableau de variations de la fonction g :

  1. Montrer que gx0 pour tout x]0;1], et que gx0  pour tout x[1;+[.
Partie 2

On considère la fonction f définie sur ]0,+[ par :

fx=x+1-2xlnx

Et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0;i;j). (Unité : 1cm)

  1. Calculer limx0+fx et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Montrer que : limx+fx=+
  1. Montrer que la courbe Cf admet au voisinage de + une branche parabolique de direction la droite (D) d'équation y=x.
  1. Montrer que : x]0,+[ : f'x=gxx2
  1. En déduire que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]0;1] et croissante sur [1;+[.
  1. Dresser le tableau de variations de f sur [1;+[.
  1. Résoudre dans l'intervalle ]0,+[ l'équation 1-2xlnx=0.
  1. En déduire que Cf coupe la droite (D) en deux points dont on déterminera les coordonnées,
  1. Montrer quo pour tout x1;2 : fxx, et on déduire la position relative de la courbe (D) par rapport à la droite sur l'intervalle 1;2.
  1. Construire (D) et Cf dans le repère (0;i;j).

(On admet que Cf possède un seul point d'inflexion dont l’abscisse est comprise entre 2,4 et 2,5).

 

 

7-5/ Exercice 5

On considère f définie sur [1,+[ par fx=xlnx.

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Montrer que f est continue sur [1,+[.
  1. Étudier la dérivabilité de f à droite en 1, et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Déterminer l’intersection de Cf et Δ: y=x.
  1. Tracer Cf et Δ dans le repère O,i,j.
  1. Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur J=[0;+[.

On considère la suite un définie par u0=0 et un+1=gun pour tout n de .

  1. Montrer que pour tout n de , on a : 0une
  1. Montrer que la suite un est décroissante.
  1. En déduire que un est convergente et trouver sa limite.

 

 

7-6/ Exercice 6

Partie 1

Soit g la fonction définie sur ]-1;+[ par : gx=2xx+1-ln1+x

  1. Dresser le tableau de variation de g.
  1. Montrer que l’équation gx=0 admet dans l’intervalle ]-1,+[ deux solutions 0 et α, et vérifier que 3,8<α<4.
  1. En déduire le signe de gx pour tout x]-1;+[.
  1. Montrer que pour tout x]-1;+[, on a gx1.
Partie 2

Soit f la fonction définie sur [0;+[ par fx=ln1+xx si x>0 et f0=0.

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i,j du plan.

  1. Montrer que f est continue sur [0;+[.
  1. Étudier la dérivabilité de f à droite en 0.
  1. Montrer que : x>0: f'x=gx2xx
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Vérifier que fα=2α1+α.
  1. Tracer la courbe Cf dans le repère O,i,j.