Séance 6 - Limite d'une suite

Sommaire

I- Généralité sur les suites

1-1/ Suite majorée – suite minorée – suite bornée

1-2/ La monotonie d’une suite

II- Suite arithmétique

2-1/ Définition

2-2/ La somme $S_n$

2-3/ Caractéristiques

III- Suite géométrique

3-1/ Définition

3-2/ La somme $S_n$

3-3/ Caractéristiques

IV- Limites d’une suite numérique

4-1/ Limite finie d’une suite

4-2/ Limite infinie d’une suite

4-3/ Convergence d’une suite numérique

V- Opérations sur les limites des suites

VI- Critères de convergences

VII- Suites particulières

7-1/ Suite de la forme $u_n=q^n$ avec $q\in \mathrm{ℝ}$

7-2/ Suite de la forme $u_n=n^r$ avec $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}*$

7-3/ Suite de la forme $v_n=f\left(u_n\right)$

7-4/ Suite de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

I- Généralité sur les suites

1-1/ Suite majorée – suite minorée – suite bornée

Définitions

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est majorée par un réel $M$ si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n\le M \left(ou u_n<M\right)$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est minorée par un réel $m$ si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n\ge m \left(ou u_n>m\right)$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est bornée si et seulement si ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est majorée et minorée .

Exemples

I- Généralité sur les suites

1-2/ La monotonie d’une suite

Définitions

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est croissante si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n\le u_{n+1}$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est strictement croissante si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n<u_{n+1}$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est décroissante si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n\ge u_{n+1}$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est strictement décroissante si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n>u_{n+1}$

Une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est constante si et seulement si $\forall n\ge n_0 ; u_n=u_{n+1}$

Exemples

II- Suite arithmétique

2-1/ Définition

Soient ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique et $r$ un nombre réel non nul.

La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$ équivaut à $\forall n\ge n_0 ; u_{n+1}-u_n=r \left(u_{n+1}=u_n+r\right)$

La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$ équivaut à $\forall n\ge n_0 ; u_n=u_{n_0}+\left(n-n_0\right)r$

Exemples

II- Suite arithmétique

2-2/ La somme $S_n$

Soit la somme suivante :

$S_n=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+...+u_n$

On a :

$S_n=\left[\frac{u_n+u_p}{2}\right]\times \left(n-p+1\right)$

Ou :

$S_n=\left[\frac{1er terme+dernier terme}{2}\right]\times \left(nombre de termes\right)$

Exemples

II- Suite arithmétique

2-3/ Caractéristiques

Propriété caractéristique

$\forall p\ge n_0 ; \forall q\ge n_0 ; u_q=u_p+\left(q-p\right)r ; \left(p,q\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

Moyenne arithmétique

$u_i=a$ et $u_{i+1}=b$ et $u_{i+2}=c$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $r$, on a $a+c=2b$

Exemple

III- Suite géométrique

3-1/ Définition

Soient ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique et $q$ un nombre réel non nul.

La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$ équivaut à $\forall n\ge n_0 ; u_{n+1}=q.u_n$

La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$ équivaut à $\forall n\ge n_0 ; u_n=u_{n_0}.q^{\left(n-n_0\right)}$

Exemples

III- Suite géométrique

3-2/ La somme $S_n$

Soit la somme suivante :

$S_n=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+...+u_n$

Si $q\ne 1$,on a :

$S_n=\left[\frac{q^{\left(n-p+1\right)}-1}{q-1}\right]\times u_p$

Si $q=1$,on a :

$S_n=\sum _{i=p}^{i=n}{u}_p=\left(n-p+1\right)u_p$

Exemples

III- Suite géométrique

3-3/ Caractéristiques

Propriété caractéristique

$\forall p\ge n_0 ; \forall n\ge n_0 ; u_p=u_n\times q^{p-n} ; \left(p,n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

Moyenne géométrique

$u_i=a$ et $u_{i+1}=b$ et $u_{i+2}=c$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $r$, on a $a\times c=b^2$

Exemple

IV- Limites d’une suite numérique

4-1/ Limite finie d’une suite

Définition

${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite numérique.
 
On dit que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est le nombre réel $\mathcal{l}$ si pour tout intervalle ouvert $I_{\mathcal{l}}$ et de centre $\mathcal{l}$ contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ à partir d’un certain rang.

On note : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$

Propriétés

Si une suite a une limite alors cette limite est unique.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$ et  et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^i}=0 \left(i\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-\mathcal{l}\right)=0\iff \underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$

Exemple

IV- Limites d’une suite numérique

4-2/ Limite infinie d’une suite

Définition

${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite numérique.
 
On dit que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $+\infty$ si pour tout $A$ de ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ l’intervalle $]A;+\infty [$ contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ à partir d’un certain rang.

• On note : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

On dit que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $-\infty$ si pour tout $A$ de ${\mathrm{ℝ}}^{-}$ l’intervalle $]-\infty ;A[$ contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ à partir d’un certain rang.

• On note : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$

Propriétés

Si une suite a une limite alors cette limite est unique.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^2=+\infty$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^i=+\infty \left(i\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{n}=+\infty$

Exemple

IV- Limites d’une suite numérique

4-3/ Convergence d’une suite numérique

Définition

${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite numérique.

Si la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est finie on dit que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Si la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est infinie ou la suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite on dit que la suite  est divergente.

Propriétés

Toute suite croissante et majorée est une suite convergente.

Toute suite décroissante et minorée est une suite convergente.

Exemple

V- Opérations sur les limites des suites

Propriété

Soient ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites numériques.

Les opérations sur les suites sont les mêmes que les opération des fonctions.

• Exemple : ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}+{\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}={\left(u_n+v_n\right)}_{n\ge n_0}$

Les propriétés des opérations des limites des suites sont les mêmes que celles des fonctions.

1. Exemple 1 : Si $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\mathcal{l}\text{'}$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n+v_n=\mathcal{l}+\mathcal{l}\text{'}$

2. Exemple 2 : Si $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n+v_n=+\infty$

Si $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$ et $u_n>0$ alors $\mathcal{l}>0$

Si $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\mathcal{l}\text{'}$ et $v_n\le u_n$ alors $\mathcal{l}\text{'}\le \mathcal{l}$

Exemple

VI- Critères de convergences

Critères

Soient ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(w_n\right)}_{n\ge n_0}$ trois suites numériques tel que à partir d’un rang $p$ on a pour tout $n\ge p\ge n_0 \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right), \alpha >0 et \mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$

1. Si $v_n\le u_n\le w_n$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n=\mathcal{l}$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$

2. Si $v_n\ge \alpha .u_n$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=+\infty$

3. Si $v_n\le \alpha .u_n$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=-\infty$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=-\infty$

4. Si $\left|v_n-\mathcal{l}\right|\le \alpha .u_n$ et $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\mathcal{l}$

Exemple

VII- Suites particulières

7-1/ Suite de la forme $u_n=q^n$ avec $q\in \mathrm{ℝ}$

Propriété

Si $q>1$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

Si $q=1$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=1$

Si $-1<q<1$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

Si $q\le -1$ alors $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.

Exemple

VII- Suites particulières

7-2/ Suite de la forme $u_n=n^r$ avec $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}*$

Propriété

Si $r>0$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

Si $r<0$ alors $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

Exemple

VII- Suites particulières

7-3/ Suite de la forme $v_n=f\left(u_n\right)$

Propriété

Si une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ converge vers $\mathcal{l}$ (c.à.d. $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$) et $f$ est une fonction continue en $\mathcal{l}$ alors la suite ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ définie par $v_n=f\left(u_n\right)$ est convergente vers $f\left(\mathcal{l}\right)$ (c.à.d. $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=f\left(\mathcal{l}\right)$)

Exemple

VII- Suites particulières

7-4/ Suite de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$

Définition

Soit une suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ tel que $\forall n\ge n_0 ; u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f$  est une fonction.

Si on a :

• $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.
• $f\left(I\right)\subset I$
• $u_{n_0}\in I$ (le premier terme).
• La suite $\left(u_n\right)$ est convergente (vers $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$).

Alors $\mathcal{l}$ est solution de l’équation $x\in I ; f\left(x\right)=x$ (c.à.d. $\mathcal{l}$ vérifie $\mathcal{l}=f\left(\mathcal{l}\right)$).

Exemple

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=13\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+7 ; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

1. Démontrer par récurrence que $u_n<14$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=14-u_n$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire que $u_n=14-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$, puis calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=4\\ u_{n+1}=\frac{2}{5}{u}_n+3 ; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

1. Démontrer par récurrence que $u_n<5$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Vérifier que $u_{n+1}-u_n=\frac{3}{5}\left(5-u_n\right)$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$, puis en déduire que $\left(u_n\right)$ est croissante.

3. En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=5-u_n$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

4. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{2}{5}$, puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.

5. Montrer que $u_n=5-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$, puis calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ u_{n+1}=\frac{3+u_n}{5-u_n} ; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

1. Vérifier que $u_{n+1}-3=\frac{4(u_n-3)}{2+(3-u_{n)}}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$, puis démontrer par récurrence que $u_n<3$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\frac{u_n-1}{3-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, puis en déduire que $v_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

3. Montrer que $u_n=\frac{1+3v_n}{1+u_n}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$, puis écrire $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

Partie 1

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)={\left(\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\right)}^2$

1. Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$, puis calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ en  à droite et interpréter le résultat géométriquement.

3. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x>0$.

4. Dresser le tableau de variation de $f$.

5. Étudier les positions relatives de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $y=x$.

Partie 2

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right) ; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): 0\le u_n\le 4$.

2. Déterminer le sens des variations de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Partie 3

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): v_n=1-\frac{2}{\sqrt{u_n}}$

1. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison.

2. Calculer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite réelle définie sur $\mathrm{\mathbb{N}}$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1+u_n}{\sqrt{3+{u_n}^2}}$.

1. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): 0\le u_n\le 1$

2. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_{n+1}\ge \frac{1+u_n}{2}$

3. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

4. Vérifier que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): 1-u_{n+1}\le \frac{1}{2}\left(1-u_n\right)$

5. En déduire que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

6. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 6

Soit $\left(u_n\right)$ la suite réelle définie sur $\mathrm{\mathbb{N}}$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2+u_n}$.

1. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_n\ge 0$

2. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_{n+1}-u_n=\frac{-u_n\left(1+u_n\right)}{2+u_n}$

3. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$.

4. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1$.

5. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

6. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.