Séance 4 - Dérivation et étude des fonctions (Partie 1)

Sommaire

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-1/ Dérivabilité

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées $f\text{'}\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

II- Dérivabilité sur un intervalle

III- La fonction dérivée première d’une fonction – la fonction dérivée seconde – dérivée nième d’ une fonction

IV- Les opérations sur les fonctions dérivables

V- Dérivabilité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et $f^n\left(x\right)$

VI- Dérivabilité de la composée de deux fonctions

VII- La fonction dérivée de la fonction réciproque

IIX- Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles

IX- Exerccies

9-1/ Exerccie 1

9-2/ Exerccie 2

9-3/ Exerccie 3

9-4/ Exerccie 4

9-5/ Exerccie 5

9-6/ Exerccie 6

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-1/ Dérivabilité

Définitions

Soit une fonction $f$ tel que son domaine de définition contient un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$

$f$ est dérivable au point $x_0\iff \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ} \left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}\right)$

$\mathcal{l}=f\text{'}\left(x_0\right)$ s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_0$

$f$ est dérivable à droite de $x_0\iff \underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ} \left(\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}\right)$

$\mathcal{l}=f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ s’appelle le nombre dérivé à gauche de $f$ en $x_0$

$f$ est dérivable à gauche de $x_0\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }\lim \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ} \left(\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\lim \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}\right)$

$\mathcal{l}=f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$ s’appelle le nombre dérivé à gauche de $f$ en $x_0$

Exemple

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-1/ Dérivabilité

Propriété

Soit une fonction $f$

$f$ est dérivable au point $x_0\iff f$ est dérivable à droite et à gauche et $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)=f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

Exemple

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées $f\text{'}\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

Interprétation géométrique des nombres dérivées $f\text{'}\left(x_0\right)$

$f$ est une fonction dérivable au point $x_0$.
 
$\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.
 
Le nombre dérivé $f\text{'}\left(x_0\right)$ est le coefficient directeur de la droite tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point $A\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ (le point $x_0$).

L'équation cartésienne de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$au point $x_0$ est $\left(T\right) : y=\left(x-x_0\right)f\text{'}\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Si $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ alors la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

Exemple

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées $f\text{'}\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

Interprétation géométrique des nombres dérivées $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

Si $f$ est dérivable à droite de $x_0$, alors on a une demi-tangente à droite de $x_0$ de coefficient directeur $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$.

L'équation de la demi tangente à droite de $x_0$ est $\left(T_d\right) : y=\left(x-x_0\right)f{\text{'}}_d\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)$ avec $x\ge x_0$.

Si $f$ est dérivable à gauche de $x_0$, alors on a une demi-tangente à gauche de $x_0$ de coefficient directeur $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$.

L'équation de la demi tangente à gauche de $x_0$ est $\left(T_g\right) : y=\left(x-x_0\right)f{\text{'}}_g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)$ avec $x\le x_0$.

Si $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)\ne f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$, alors $f$ n’est pas dérivable en $x_0$ et le point $A\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ est appelé point anguleux.

Exemple

I- Dérivabilité d’une fonction en un point $x_0$ – Dérivabilité à droite et à gauche en un point $x_0$

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées $f\text{'}\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$ et $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

Remarque

Si $f$ n’est pas dérivable à droite (c.à.d. $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\pm \infty$), dans ce cas on a une demi tangente à droite de $x_0$ parallèle à l’axe des ordonnées.

Si  n’est pas dérivable à gauche (c.à.d. $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\pm \infty$), dans ce cas on a demi tangente à gauche de $x_0$ parallèle à l’axe des ordonnées.

Exemple

II- Dérivabilité sur un intervalle

Définitions

$f$ est une fonction dérivable sur $I=]a,b[\iff f$ est dérivable en tout point $x_0$ de $I$.

$f$ est une fonction dérivable sur $I=[a,b[\iff f$ est dérivable sur $I=]a,b[$ et $f$ est dérivable à droite du point $a$.

$f$ est une fonction dérivable sur $I=]a,b]\iff f$ est dérivable sur $I=]a,b[$ et $f$ est dérivable à gauche du point $b$.

$f$ est une fonction dérivable sur $I=[a,b]\iff f$ est dérivable sur $I=]a,b[$ et $f$ est dérivable à droite de $a$ et à gauche de $b$.

Exemple

III- La fonction dérivée première d’une fonction – la fonction dérivée seconde – dérivée nième d’ une fonction

Définitions

$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
 
La fonction $g$ qui relie chaque élément $x$ de $I$ par le nombre $f\text{'}\left(x\right)$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ et on note $g=f\text{'}$.

$g$ s’appelle la fonction dérivée de $f$.

La fonction dérivée de $f\text{'}$ sur $I$ s’appelle la fonction dérivée seconde (dérivée d’ordre 2), on la note $f\text{'}\text{'}$ ou $f^{\left(2\right)}$.

En général : la dérivée d’ordre $n$ de $f$ est la fonction dérivée de $f^{\left(n-1\right)}$ (la dérivée de la fonction dérivée d’ordre $n-1$), et on note $f^{\left(n\right)}\left(x\right)={\left(f^{\left(n-1\right)}\right)}^{\text{'}}\left(x\right)$.

Exemple

IV- Les opérations sur les fonctions dérivables

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $I$.

On a :

La fonction $f+g$ est dérivable sur $I$ et ${\left(f+g\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)+g\text{'}\left(x\right)$

La fonction $\alpha f$ est dérivable sur $I$ et ${\left(\alpha f\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=\alpha f\text{'}\left(x\right)$

La fonction $f\times g$ est dérivable sur $I$ et ${\left(f\times g\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)$

La fonction $\frac{1}{g}$ est dérivable sur $I \forall x\in I,g\left(x\right)\ne 0$ et ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}$

La fonction $\frac{f}{g}$ est dérivable sur $I \forall x\in I,g\left(x\right)\ne 0$ et ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}$

Exemple

V- Dérivabilité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et $f^n\left(x\right)$

Propriété

Toute fonction polynomiale est dérivable sur son ensemble de définition $D_f=\mathrm{ℝ}$ et ${\left(a{x}^n\right)}^{\text{'}}=na{x}^{n-1} \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition $D_f$.

$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

La fonction $f^n$ avec $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ est dérivable sur $I$ et on a ${\left(f^n\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=n{f}^{n-1} \left(x\right)f\text{'}\left(x\right)$.

Si pour tout $x\in I, f\left(x\right)\ne 0$, on a la fonction $f^p\left(x\right)$ avec $p\in \mathrm{\mathbb{Z}}*$ est dérivable sur $I$ et ${\left(f^p\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=p{f}^{p-1} \left(x\right)f\text{'}\left(x\right)$.

La fonction $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ avec $f\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$.

La fonction $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ avec $f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(x\right)$.

La fonction $f\left(x\right)=\tan \left(x\right)$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}/\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi };\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ avec $f\text{'}\left(x\right)=1+{\tan }^2\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$

Exemple

VI- Dérivabilité de la composée de deux fonctions

Propriété

Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $g$ est dérivable en $f\left(x_0\right)$, alors la fonction $g\circ f$ est dérivable en $x_0$ et on a :

${\left(g\circ f\right)}^{\text{'}}\left(x_0\right)=f\text{'}\left(x_0\right)\times g\text{'}\left(f\left(x_0\right)\right)$

Application

${\left(\sqrt{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{2x\sqrt{f\left(x\right)}} ; x\in D_f et f\left(x\right)>0$

$\left(\sin \left(ax+b\right)\right)\text{'}=a.\cos \left(ax+b\right) ; x\in \mathrm{ℝ}$

$\left(\cos \left(ax+b\right)\right)\text{'}=-a.\sin \left(ax+b\right) ; x\in \mathrm{ℝ}$

$\left(\tan \left(ax+b\right)\right)\text{'}=a.\left[1+{\tan }^2\left(ax+b\right)\right]=\frac{a}{{\cos }^2\left(ax+b\right)} ; ax+b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } ; \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Exemple

VII- La fonction dérivée de la fonction réciproque

Théorème

 Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f\left(x_0\right)\ne 0$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f\left(x_0\right)$

et ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(f\left(x_0\right)\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(x_0\right)}$

ou encore ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(y_0\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(f^{-1}\left(y_0\right)\right)}$

Application:

$$\begin{gathered} \forall x\in {\mathrm{ℝ}}^{+*} \left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\frac{1}{n\times \sqrt[n]{x^{n-1}}} \\ \forall x\in I : \left(\sqrt[n]{f\left(x\right)}\right)\text{'} = \frac{f\text{'}\left(x\right)}{n\times \sqrt[n]{f{\left(x\right)}^{n-1}}} \end{gathered}$$

Exemple

IIX- Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles

IX- Exerccies

9-1/ Exerccie 1

1. Dans chacun des cas suivantes, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $x_0$ et interpréter le résultat graphiquement :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^3-x^2+2}{x+1} si x\ne -1\\ f\left(-1\right)=5\end{array}\right. ; x_0=-1 \\ \overline{)2} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+2}{x-1} si x<1\\ f\left(x\right)=x^2+x-2 si x\ge 1\end{array}\right. ; x_0=1 \end{gathered}$$

IX- Exerccies

9-2/ Exerccie 2

1. Déterminer la fonction dérivée $f\text{'}$ de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=\sqrt{x^2+x+1} \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{x^3-4x}{x^2+1} \\ \overline{)3} f\left(x\right)={\left(\frac{x^2-2x}{x-1}\right)}^4 \\ \overline{)4} f\left(x\right)=x^3\times \cos \left(x^2-x\right) \\ \overline{)5} f\left(x\right)=x^5\times \sqrt[3]{x^2-3x+5} \end{gathered}$$

IX- Exerccies

9-3/ Exerccie 3

1. Déterminer la fonction dérivée $f\text{'}$ de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :

IX- Exerccies

9-4/ Exerccie 4

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)=-x+\sqrt{x^2-x}$

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$.

3. Étudier la dérivabilité à gauche de $f$ au point $x_0=0$ puis interpréter le résultat graphiquement.

4. Calculer $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)+1}{x-1}$, puis interpréter le résultat graphiquement.

5. Montrer que  pour tout $x$ de $]-\infty ,0[$ on a $f\text{'}\left(x\right)=-1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$ puis déterminer son signe sur $]-\infty ,0[$.

6. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x$ de $]1,+\infty [$ puis déterminer son signe sur $]1,+\infty [$.

7. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $D_f$.

Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à l’intervalle $]-\infty ,0]$.

8. Montrer que la restriction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur l’intervalle $J$ qu’on déterminera.

9. Calculer $g\left(2\right)$ et ${\left(g^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(-2+\sqrt{2}\right)$.

IX- Exerccies

9-5/ Exerccie 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2} si x\in ]-\infty ;2[\\ f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+10 si x\in [2;+\infty [\end{array}\right.$

1. Calculer $f\left(2\right)$ et $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$.

2. Est-ce que la fonction $f$ est continue en $2$ ?

3. Étudier la continuité de $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.

4. Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$, et interpréter géométriquement les résultats.

IX- Exerccies

9-6/ Exerccie 6

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)=x^3+3x-2$

1. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ une seule solution $\alpha$ sur $[0;+\infty [$, et que $\alpha \in ]0;1[$.

2. Donner un encadrement d’amplitude $0,125$ de $\alpha$.

3. En déduire que $\left(\forall x\in \left[0;\alpha \right]\right); f\left(x\right)\le 0$ et $\left(\forall x\in [\alpha ;+\infty [\right); f\left(x\right)\ge 0$.

4. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l’on précisera.

5. Calculer $f\left(0\right)$, $f^{-1}\left(-2\right)$ et $\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(-2\right)$.