Maths 3AC - Examen Local 1

I- Exercice 1 (7 pts)

1. Calculer et simplifier :

$$\begin{gathered} A=\sqrt{3}\times \sqrt{12}= \\ B=\sqrt{8}-4\sqrt{18}+3\sqrt{32}= \\ C=\frac{7}{3}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2= \\ D=\sqrt{7+\sqrt{4}}= \end{gathered}$$

2. Supprimer le radical du dénominateur :

$$\begin{gathered} E=\frac{3}{\sqrt{13}}= \\ F=\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}= \end{gathered}$$

3. Donner l’écriture scientifique :

$G=0,0000712\times {10}^3=$

4. Développer ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2$, en déduire une simplification pour :

$H=2\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{20}=$

5. Factoriser :

$I=\left(3x-4\right)\left(x-2\right)+\left(3x-4\right)\left(5x+1\right)=$

II- Exercice 2 (3 pts)

1. Comparer $3$ et $\sqrt{8}$ et en déduire une comparaison pour $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ et $\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}$

$a$ et $b$ deux nombres réels tel que $2\le a\le 5$ et $-7\le b\le -3$

2. Encadrer :

$$\begin{gathered} a+b \\ a-b \\ a\times b \\ {a}^2+b^2 \end{gathered}$$

III- Exercice 3 (5 pts)

$ABC$ est un triangle tel que $AB=3\sqrt{3}$ et $AC=3$ et $BC=6$

1. Prouver que le triangle est rectangle.

2. Calculer les rapports trigonométriques (cosinus, sinus et tangente) de l’angle $\widehat{ACB}$

Soit $H$ le projeté orthogonale de $A$ sur $\left(BC\right)$

3. Calculer $AH$, $BH$ et $CH$

$\alpha$ est  la mesure d’un angle aigu.

4. Sachant que $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, calculer $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$

5. Simplifier :

$2{\sin }^{2}25°+\cos 10°+2{\sin }^{2}65°-\sin 80°$

Soit $x$ la mesure d’un angle aigu tel que $2\cos x+\sin x=2$

6. Calculer $\cos x$

IV- Exercice 4 (2 pts)

Soit la figure suivante :

$\left(AB\right)//\left(CD\right) ; AB=6 ; DC=15 ; OC=5 ; OD=10$

1. Calculer $OA$ et $OB$

On pose $DE=8$ et $DF=12$

2. Montrer que : $\left(EF\right) // \left(OC\right)$

V- Exercice 5 (3 pts)

$\left(\mathfrak{C}\right)$ est un cercle de centre $O$, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent  au  cercle $\left(\mathfrak{C}\right)$ tel que $\widehat{ACB}= 30°$ et $\widehat{COD}=140°$

$E$ est le point d’intersection des deux droites $\left(AD\right)$ et $\left(BC\right)$

1. Calculer $\widehat{ADB}$

2. Calculer $\widehat{CAD}$

3. Calculer $\widehat{AEB}$