Séance 8 - Les puissances

Sommaire

I- La puissance d’un nombre rationnel

1-1/ Définition

1-2/ Cas particuliers

1-3/ Puissance d’exposant négatif

1-4/ Signe d’une puissance de base négative

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-1/ Produit de deux puissances de même base

2-2/ Quotient de deux puissances de même base

2-3/ Produit de deux puissances de même exposant

2-4/ Quotient de deux puissances de même exposant

2-5/ Puissance d’une puissance

III- L’écriture scientifique d’un nombre décimal relatif

3-1/ Les puissances de 10

3-2/ L’écriture scientifique

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

4-7/ Exercice 7

I- La puissance d’un nombre rationnel

1-1/ Définition

a est un nombre rationnel et n un entier naturel non nul :

Exemple

I- La puissance d’un nombre rationnel

1-2/ Cas particuliers

$$\begin{gathered} \overline{) \\ a^0=1 \left(a\ne 0\right) \\ a^1=a \\ 0^n=0 \left(n\ne 0\right) \\ 0^0 n\text{'}existe pas \\ } \end{gathered}$$

Exemple

I- La puissance d’un nombre rationnel

1-3/ Puissance d’exposant négatif

a est un nombre rationnel non nul et n un entier naturel :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \\ } \end{gathered}$$

Résultat

$\frac{a}{b}$ est un nombre rationnel non nul et n un entier naturel :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n \\ } \end{gathered}$$

Exemple

I- La puissance d’un nombre rationnel

1-4/ Signe d’une puissance de base négative

Une puissance de base négative est de signe :

• Positif : si l’exposant est un nombre est un pair
• Négatif : si l’exposant est un nombre impair

Remarque

Exemple

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-1/ Produit de deux puissances de même base

Propriété 1

a est un nombre rationnel non nul. m et n deux entiers naturels :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ a^m\times a^n=a^{m+n} \\ } \end{gathered}$$

Exemple

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-2/ Quotient de deux puissances de même base

Propriété 2

a est un nombre rationnel non nul. m et n deux entiers naturels :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \\ } \end{gathered}$$

Exemple

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-3/ Produit de deux puissances de même exposant

Propriété 3

a et b deux nombres rationnels non nuls. m un entier naturel :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ a^m\times b^m={\left(a\times b\right)}^m \\ } \end{gathered}$$

Exemple

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-4/ Quotient de deux puissances de même exposant

Propriété 4

a et b deux nombres rationnels non nuls. m un entier naturel :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \frac{a^m}{b^m}={\left(\frac{a}{b}\right)}^m \\ } \end{gathered}$$

Exemple

II- Propriétés de calculs sur les puissances

2-5/ Puissance d’une puissance

Propriété 5

a est un nombre rationnel non nul. m et n deux entiers naturels :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ {\left(a^n\right)}^m=a^{n\times m} \\ } \end{gathered}$$

Exemple

III- L’écriture scientifique d’un nombre décimal relatif

3-1/ Les puissances de 10

Définition

n est un entier naturel :

Exemple

3-2/ L’écriture scientifique

Règle

Exemple

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

calculer :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \frac{5^2}{15} ; \frac{{17}^0}{9} ; {\left(-2\right)}^5 ; {\left(-\frac{7}{9}\right)}^2 ; 1^{2009} ; 0^{2008} ; {\left(-1\right)}^{2008} \\ {\left(\frac{-15}{33}\right)}^0 ; {\left(\frac{14}{235}\right)}^1 ; {11}^3 ; {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4} ; {10}^{-7} ; {\left[{\left(\frac{4}{3}\right)}^{-3}\times {\left(\frac{21}{91}\right)}^8\right]}^0 \\ {\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\times {\left(\frac{6}{2}\right)}^5\right]}^2 ; {\left(\frac{6}{5}\right)}^3\times \frac{12}{10}\times {\left(\frac{15}{18}\right)}^4 ; {\left(\frac{1}{9}\right)}^2\times {\left(\frac{27}{3}\right)}^3\times \frac{2}{9} \\ } \end{gathered}$$

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Déterminer le signe en justifiant votre réponse :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \frac{-5^2{\left(-3\right)}^3}{-{\left(-7\right)}^2} ; -{\left(-4\right)}^3\times {\left(-7\right)}^{11} ; {\left(\frac{77}{-5}\right)}^{2008} \\ -{33}^8 ; {\left(-\frac{11}{27}\right)}^{211} ; {\left(\frac{-11}{35}\right)}^{11} ; {\left(-12\right)}^3 \\ } \end{gathered}$$

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Écrire sous forme de puissance d’un nombre rationnel :

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Donner l’écriture scientifique des expressions suivantes :

IV- Exercices

4-5/ Exercice 5

a et b deux nombres relatifs non nuls.

1. Simplifier A

 $$\begin{gathered} \overline{) \\ A=\frac{a{b}^{-2}{\left(a^2\right)}^{-3}b\times {\left[ab{\left(a^{-4}{b}^3\right)}^2\right]}^{-1}}{a^{-2}{b}^2{\left(a^{-4}b\right)}^{-3}\times {\left[{\left(a^{2}b\right)}^{-1}a\right]}^{-2}} \\ } \end{gathered}$$

2. Calculer A  pour $a={10}^{-2}$ et $b={10}^3$

IV- Exercices

4-6/ Exercice 6

La distance moyenne de la terre au soleil est évaluée à 150 millions de Km, et celle de la terre à la lune à $3,8\times {10}^{5}Km$ (pour les calculs prendre l'ordre de grandeur de $4\times {10}^{5}Km$).

La longueur d'un pas de géant (de science-fiction) est celle de la distance terre-lune.

1. Combien de pas doit-il faire pour aller de la terre au soleil ?

IV- Exercices

4-7/ Exercice 7

Soit $n$ un entier relatif.

1. Déterminer $n$ dans les deux cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} {\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3={\left(-\frac{1}{3}\right)}^{2n-1}\times {\left(-\frac{3}{9}\right)}^2 \\ \boxed{2} {\left(-\frac{4}{5}\right)}^n÷{\left({\left(-\frac{4}{5}\right)}^2\right)}^3=\left(-\frac{64}{125}\right) \end{gathered}$$