Mathématiques : 3ème Année Collège

Séance 2 (Puissances)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 

Sommaire

 

I- Puissance d’un nombre réel

1-1/ Définition

1-2/ Puissances à exposant négatif

1-3/ Le signe d’une puissance

II- Règles de calculs sur les puissances

2-1/ Propriétés

III- Puissance de 10

3-1/ Propriétés

IV- Écriture scientifique

4-1/ Définition

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

 


I- Puissance d’un nombre réel

 

1-1/ Définition

Soient a un nombre réel et n un nombre entier naturel non nul :

an se lit: a puissance n ou a exposant n

Remarques

a0=1 (a0)  ;  a1=a  ;  0n=0 (n0)  ;  00 n'existe pas

Exemples

 

 

1-2/ Puissances à exposant négatif

Soient a et b deux nombres réels non nuls et n un nombre entier naturel :

a-n=1an  et  (ab)-n= (ba)n

Exemples

 

 

 

 

 

1-3/ Le signe d’une puissance

Soit a un nombre réel et n un nombre entier non nul.

Si n est paire, alors an est toujours positif quel que soit le signe de a.

Si n est impaire, alors :

  • Si a est positif, alors an est positif.
  • Si a est négatif, alors an est négatif.
Remarques importantes

 

II- Règles de calculs sur les puissances

 

2-1/ Propriétés

soient a et b deux nombres réels non nuls, n et m deux entiers naturels.

Produit de deux puissances de même base :

an×am=an+m

Produit de deux puissances de même exposant :

an×bn=(a×b)n

Quotient de deux puissances de même base :

anam=an-m

Quotient de deux puissances de même exposant :

anbn=(ab)n

Puissance d’une puissance :

(an)m=an×m

Exemples

 

 

 

III- Puissance de 10

 

3-1/ Propriétés

Exemples

 

IV- Écriture scientifique

 

4-1/ Définition

Exemples

 

V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

  • Calculer et simplifier les expressions suivantes :

A=5-7×2-7104×(10-2)3=B=(12)-2×(82)2=C=(32+12)-4×24=

D=(3-1+23)-23= E=(23)32= F=-4720,52=

 

 

5-2/ Exercice 2

a et b deux nombres réels non nuls tel que a3.

  1. Simplifier les expressions suivantes :

A=[1+(3-a1+a)-1]-1=B=2a53a4×a112a2×a37a-3=                C=a-5×b-3×a-2a-3×(b-2)3=D=(a2)-2×(a3)-3(a2)-3=

 

 

5-3/ Exercice 3

Trouver l’écriture scientifique des nombres suivants :

 

 a=2517,301×1051= b=-0,000069×1023= c=113×105+7,2×107= d=0,5×(10-3)-2×(100)-2×(0,002)24×10-4×(0,001)-3=                 e=3,2×10-1×5×(102)34×10-2=

 

 

5-4/ Exercice 4

  1. Déterminer la valeur du nombre entier naturel n tel que :

92n-1×3n+127n+3=81

 

  1. Prouver que le nombre K est un entier naturel :

k=12100×3250×6-149

 

  1. Montrer que :

3333332+4444442=5555552

 

  1. Calculer :

M=32×12-3×51207000×3×15-1

 

 

 

5-5/ Exercice 5

  1. Écrire les puissances suivantes sous forme de an n>0 :
1 a=42×452 b=43853 c=4525 4 d=453×7335 e=70×73-4×7157×7-2-3
  1. Simplifier les expressions suivantes tel que t0 et b0 :

1 A=t2×t-3-4×t-3t0×t72 B=b3×b72×b2-3×b0b×b23×b-5

On considère l'expression suivante : C=32×1027×20×100005×0,001

  1. a- Montrer que : C=36×1021
  1. b- Écrire C sous forme d'une écriture scientifique

 

 

5-6/ Exercice 6

  1. Déterminer le nombre entier relatif x sachant que :

45x+5x+1+5x+2=31×20x

  1. Déterminer les nombres entier naturels ab et c tels que :

2a×3b×5c=648000