Séance 8-3 : Équations différentielles (Problème de synthèse)

Sommaire

IV- Problème de synthèse

IV- Problème de synthèse

Soit $S$ l'ensemble des fonctions $f$ définies et dérivables sur $\mathrm{ℝ}$ et qui vérifient la condition suivante :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : f\left(x\right)-x{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt+{\int }_0^{x}tf\left(t\right)dt=x$

On considère l'équation : $\left(E\right) : y"-y=0$

1. Déterminer la fonction $h$ solution de $\left(E\right)$ et dont la courbe passe par le point $A\left(\ln 2;\frac{3}{4}\right)$ et admet une tangente de pente $\frac{5}{4}$ en ce point.

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$

2. Calculer $I={\int }_0^{x}t\left(e^t-e^{-t}\right)dt$ en fonction de $x$ puis conclure que $h\in S$.

Soit $f$ un élément de $S$.

3. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : f\text{'}\left(x\right)=1+{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$

4. Montrer que $f$ est une solution de $\left(E\right)$.