Séance 7 - La rotation dans le plan

Sommaire

I- Rotation et rotation réciproque

1-1/ Rotation$$

1-2/ Rotation réciproque

II- Caractérisatiques et propriétés de la rotation

2-1/ Caractérisations de la rotation

2-2/ Propriétés de la rotation

III- Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une rotation

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

I- Rotation et rotation réciproque

1-1/ Rotation$$

Définition

Soit $\Omega$ un point du plan orienté dans le sens direct et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

La rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\alpha$ est la transformation du plan, qui à tout point $M$ du plan associe le point $M\text{'}$ défini par :

• Si $M=\Omega$ alors : $M\text{'}=\Omega$
• Si $M\ne \Omega$ alors : $\left\{\begin{array}{l}\Omega M=\Omega M\text{'}\\ \left(\widehat{\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M\text{'}}}\right)\equiv \alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]\end{array}\right.$

I- Rotation et rotation réciproque

1-1/ Rotation$$

Formule analytique d’une rotation

La rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\alpha$ est notée : $r\left(\Omega ,\alpha \right)$, ou simplement $r$, l’osqu’il n’y a pas de confusion possible.

Si $M\text{'}$ est l’image de $M$ par la rotation $r$, alors on dit que la rotation $r$ transforme $M$ en $M\text{'}$, et on écrit : $r\left(M\right)=M\text{'}$. Et on a : $r\left(\Omega \right)=\Omega$

$\left(\forall M\in \mathcal{P}\right)$ avec $M\ne \Omega$, on a :$r\left(M\right)=M\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}\Omega M=\Omega M\text{'}\\ \left(\widehat{\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M\text{'}}}\right)\equiv \alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]\end{array}\right.$

I- Rotation et rotation réciproque

1-2/ Rotation réciproque

Définition

Soit $r$ une rotation de centre $O$ et d’angle $\alpha$.

La rotation de centre $O$ et d’angle $-\alpha$ est appelée rotation réciproque de $r$. On la note $r^{-1}$.

II- Caractérisatiques et propriétés de la rotation

2-1/ Propriétés de la rotation

Propriété 1

La rotation conserve :

• les longueurs ;
• les angles (l’image d’un angle est un angle de même amplitude) ;
• les parallèles (les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles) ;
• les aires (l’image d’une figure est une figure de même aire).

II- Caractérisatiques et propriétés de la rotation

2-1/ Propriétés de la rotation

Propriété 2

Soient $M$ et $N$ deux points du plan distincts.

On note $M\text{'}$ et $N\text{'}$ leurs images respectives par la rotation de centre $C$ et d’angle $\theta$.

Alors on a :

$$\begin{gathered} MN=M\text{'}N\text{'} \\ \left(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

II- Caractérisatiques et propriétés de la rotation

2-1/ Propriétés de la rotation

Propriété 3

Une rotation transforme trois points alignés dans un ordre en trois points alignés dans le même ordre.

II- Caractérisatiques et propriétés de la rotation

2-1/ Propriétés de la rotation

Propriété 4

soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan distincts.

On note $A\text{'}$, $B\text{'}$ et $C\text{'}$ leurs images respectives par la rotation de centre $O$ et d’angle $\alpha$.

Alors :

$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}};\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}\right)$

III- Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une rotation

Soit $r$ une rotation. Soit $A$ et $B$ deux points tels que $A\ne B$.

Alors on a :

(1) L’image de la droite $\left(AB\right)$ par la rotation $r$ est la droite $(A\text{'}B\text{'})$ telle que$r\left(A\right)=A\text{'}$ et $r\left(B\right)=B\text{'}$.

(2) L’image du segment $\left[AB\right]$ est le segment $[A\text{'}B\text{'}]$ telle que$r\left(A\right)=A\text{'}$ et $r\left(B\right)=B\text{'}$.

(3) L’image du cercle F par la rotation $r$ est le cercle F’.

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

$ABCD$ un carré de centre $O$ tel que : $\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$
 
Soient $I$ et $J$ deux points tels que : $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$

Les droites $\left(IC\right)$ et $\left(JD\right)$ coupent respectivement $\left(BD\right)$ et $\left(AC\right)$ en $M$ et $N$.

Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Déterminer $r\left(A\right)$ et $r\left(B\right)$.

2. Montrer que $I$ est le barycentre des points pondérés $\left(A;1\right)$ et $\left(B;-3\right)$.

3. Montrer que : $r\left(I\right)=J$

4. Déterminer l’image de chacune des droites $\left(BD\right)$ et $\left(IC\right)$ par la rotation $r$.

5. En déduire que $r\left(M\right)=N$.

6. Montrer que : $IM=JN$

7. Montrer que : $\left(CM\right)\perp \left(DN\right)$

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

$ABC$ est un triangle isocèle et rectangle en $A$ tel que $\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

Soit $E$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

On considère la rotation $r$ de centre $E$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Montrer que $r\left(A\right)=B$ et $r\left(C\right)=A$

Soit $\left(\phi \right)$ le cercle de centre $C$ et passant par le point $E$

2. Construire $\left(\phi \text{'}\right)$ l’image du cercle $\left(\phi \right)$ par la rotation $r$

Le cercle $\left(\phi \right)$ coupe le segment $\left[AC\right]$ en un point $I$ et $\left(\phi \text{'}\right)$ coupe le segment $\left[AB\right]$ en un point $J$.

3. Montrer que $r\left(I\right)=J$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

On considère un parallélogramme $ABCD$.

On construit à l’extérieur de ce parallélogramme un triangle $IAB$ rectangle et isocèle en $I$ et un carré $BEFC$ tel que $\overline{\left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

1. Construire la figure.

On considère la rotation $r$ de centre $I$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

On pose : $r\left(D\right)=K$

2. Montrer que : $\overline{\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BK}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

3. Montrer que $K$ est l’image de $C$ par la rotation de centre $B$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

4. En déduire que $r\left(D\right)=E$

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $\overline{\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$
 
Le cercle $\left(\phi \right)$ de centre $C$ et de rayon $AB$ coupe le segment $\left[AC\right]$ en $D$.

La médiatrice du segment $\left[AD\right]$ coupe La médiatrice du segment $\left[BC\right]$ en $O$.

Soit $r$ la rotation qui transforme $D$ en $A$ et $C$ en $B$.

1. Déterminer le centre de la rotation $r$.

2. Montrer que $\overline{\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)}\equiv \overline{\left(\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OC}\right)} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

3. Déterminer $\left(\phi \text{'}\right)$ l’image du cercle $\left(\phi \right)$ par la rotation $r$

Soient $F$ et $G$ les points définis par $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$

4. Montrer que $r\left(F\right)=G$

5. Déterminer l’image de la droite $\left(BG\right)$ par la rotation réciproque de la rotation $r$

IV- Exercices

4-5/ Exercice 5

$ABC$ est un triangle direct, on construit à l’extérieur du triangle $ABC$ les carrés $ABEF$ et $ACGH$, tels que :

$\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF}\right)}\equiv -\frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $\overline{\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AH}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

On construit un parallélogramme $AHKF$ de centre $I$.

On considère la rotation $r$ de centre $A$ et d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Déterminer $r\left(F\right)$ et $r\left(C\right)$

2. Montrer que : $\overline{\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CF}\right)}\equiv \overline{\left(\overrightarrow{HA};\overrightarrow{HB}\right)} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

Soit $J$ l’image du point $I$  et $D$ l’image du point $H$ par la rotation $r$.

3. Montrer que $J$ est le milieu du segment $\left[BD\right]$

IV- Exercices

4-6/ Exercice 6

Soit $ABCD$ un losange.

On considère un cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ de centre $B$ et de rayon $R$ avec $0<R<AB$.

$E$ et $F$ sont les points d'intersection respectifs de $\left(\mathcal{C}\right)$ avec $\left[AB\right]$ et de $\left(\mathcal{C}\right)$ avec $\left[BC\right]$.

1. Déterminer $G$ le centre de la rotation $r$ qui transforme $B$ en $F$ et $E$ en $B$

Notons: $F\text{'}$, $A\text{'}$, $C\text{'}$ et $D\text{'}$ les images respectives de $F$. $A$, $C$ et $D$ par la rotation $r$

2. Montrer que : $(BF\text{'}) // (A\text{'}C\text{'})$