Séance 3 - Le barycentre dans le plan

Sommaire

I- Barycentre de deux points pondérés

1-1/ Définition

1-2/ Propriétés

II- Barycentre de trois points pondérés

2-1/ Définition

2-2/ Propriétés

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

I- Barycentre de deux points pondérés

1-1/ Définition

Soient $(A,a)$ et $(B,b)$ deux points pondérés du plan $\left(P\right)$, tel que $A\ne B$ et $a,b\in \mathrm{ℝ}$.

Si $a+b\ne 0$ alors il existe un point unique $G$ de $\left(P\right)$ tel que : $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$.

Le point $G$ s’appelle barycentre du système pondéré $S=\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$ (ou encore barycentre des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$).

Démonstration

I- Barycentre de deux points pondérés

1-2/ Propriétés

Invariance

Si $G$ est barycentre du système pondéré $S=\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$, alors pour tout $k$ de $\mathrm{ℝ}*$ on a aussi $G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,ka),\left(B,kb\right)\right\}$.

Le barycentre de deux points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par
le même réel non nul.

I- Barycentre de deux points pondérés

1-2/ Propriétés

Propriété caractéristique

$G$ est barycentre du système pondéré $S=\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$ si et seulement si $a+b\ne 0$ et $\forall M\in \left(P\right) : a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=\left(a+b\right)\overrightarrow{MG}$.

Les points $A$ et $B$ et $G$ sont alignés et $\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$.

I- Barycentre de deux points pondérés

1-2/ Propriétés

Cordonnées du point $G$ barycentre de $S=\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ et $G(x_G,y_G)$ sont des points de $\left(P\right)$.

Si le point $G$ est le barycentre de $S=\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$, alors on a $x_G=\frac{a{x}_A+b{x}_B}{a+b}$ et $y_G=\frac{a{y}_A+b{y}_B}{a+b}$.

II- Barycentre de trois points pondérés

2-1/ Définition

Soient $(A,a)$ et $(B,b)$ et $\left(C,c\right)$ trois points pondérés du plan $\left(P\right)$, tel que $a,b,c\in \mathrm{ℝ}$.

Si $a+b+c\ne 0$, alors il existe un point unique $G$ de $\left(P\right)$ qui vérifie : $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Le point $G$ s’appelle barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$ (ou encore barycentre des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ et $\left(C,c\right)$).

Si $a=b=c\ne 0$, alors le point $G$ s’appelle isobarycentre des points $A$ et $B$ et $C$ ou le centre de gravité du triangle $ABC$.

II- Barycentre de trois points pondérés

2-2/ Propriétés

Invariance

Si $G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$, alors pour tout $k$ de $\mathrm{ℝ}*$ on a aussi $G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,ka),\left(B,kb\right),\left(C,kc\right)\right\}$.

Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par le même réel non nul.

II- Barycentre de trois points pondérés

2-2/ Propriétés

Propriété caractéristique

$G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$ si et seulement si $a+b+c\ne 0$ et $\forall M\in \left(P\right) : a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=\left(a+b+c\right)\overrightarrow{MG}$.

II- Barycentre de trois points pondérés

2-2/ Propriétés

Associativité du barycentre ou barycentre partiel

Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on remplace deux points du système par leur barycentre avec un poids qui est la somme de leur poids (ou avec un coefficient qui est la somme de
leur coefficients).

Ou encore $G_2$ est barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$ avec $a+b\ne 0$, et on a $G$ est barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$, alors $G$ est barycentre de $\left\{(G_2,a+b),\left(C,c\right)\right\}$.

Démonstration

II- Barycentre de trois points pondérés

2-2/ Propriétés

Cordonnées du point $G$ barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$ et $G(x_G,y_G)$ sont des points de $\left(P\right)$.

Si le point $G$ est le barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$, alors on a :

$x_G=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c}$

$y_G=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}$.

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-1/ Définition

Soient $(A,a)$ et $(B,b)$ et $\left(C,c\right)$ et $\left(D,d\right)$ trois points pondérés du plan $\left(P\right)$, tel que $a,b,c,d\in \mathrm{ℝ}$.

Si $a+b+c+d\ne 0$, alors il existe un point unique $G$ de $\left(P\right)$ qui vérifie : $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}+d\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Le point $G$ s’appelle barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$ (ou encore barycentre des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ et $\left(C,c\right)$ et $\left(D,d\right)$).

Si $a=b=c=d\ne 0$, alors le point $G$ s’appelle isobarycentre des points $A$ et $B$ et $C$ et $D$, ou le centre de gravité du quadrilatère $ABCD$.

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-2/ Propriétés

Invariance

Si $G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$, alors pour tout $k$ de $\mathrm{ℝ}*$ on a aussi $G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,ka),\left(B,kb\right),\left(C,kc\right),\left(D,kd\right)\right\}$.

Le barycentre de quatre points pondérés ne change pas si on multiplie leurs poids (ou coefficients) par le même réel non nul.

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-2/ Propriétés

Propriété caractéristique

$G$ est barycentre du système pondéré $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$ si et seulement si $a+b+c+d\ne 0$ et $\forall M\in \left(P\right) : a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}+d\overrightarrow{MD}=\left(a+b+c+d\right)\overrightarrow{MG}$.

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-2/ Propriétés

Associativité du barycentre ou barycentre partiel

Le barycentre de quatrepoints pondérés ne change pas si on remplace deux points ou trois points du système par leur barycentre avec un poids qui est la somme de leur poids (ou avec un coefficient qui est la somme de
leur coefficients).

Ou encore $G_1$ est barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right)\right\}$ avec $a+b\ne 0$, et $G_2$ est barycentre de $\left\{\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$ avec $c+d\ne 0$.

On a $G$ est barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$, alors $G$ est barycentre de $\left\{(G_1,a+b),(G_2,c+d)\right\}$.

III- Barycentre de quatre points pondérés

3-2/ Propriétés

Cordonnées du point $G$ barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$ et $D(x_D,y_D)$ et $G(x_G,y_G)$ sont des points de $\left(P\right)$.

Si le point $G$ est le barycentre de $\left\{(A,a),\left(B,b\right),\left(C,c\right),\left(D,d\right)\right\}$, alors on a :

$x_G=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C+d{x}_D}{a+b+c+d}$

$y_G=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C+d{y}_D}{a+b+c+d}$

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

Soit $A$ et $B$ deux points et $m\in \mathrm{ℝ}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour que les deux points pondérés $(A;2m)$ et $(B;m-3)$ admettent un barycentre $G$.

2. Écrire une relation entre $\overrightarrow{GB}$ et $\overrightarrow{GA}$ dans ce cas.

3. Construire le point $G$ dans le cas où $m=-1$.

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Soient $A$ et $B$ deux points distincts, $I$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ et $G$ le barycentre de $(A;1)$ et $(B;-3)$.

1)Déterminer l’ensemble :

$\left(E_1\right) : \left\{M\in \mathcal{P}/||\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}||=4\right\}$

2)Déterminer l’ensemble :

$\left(E_2\right) : \left\{M\in \mathcal{P}/||\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||\right\}$

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Soit $G$ le barycentre de $(A;3)$ et $(B;-2)$, $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{EF}$ et $E\notin \left(AB\right)$.

1. Montrer que $G$ est le barycentre de $(E;-1)$ et $(F;2)$.

2. En déduire que les deux droites $\left(EF\right)$ et $\left(AB\right)$ sont sécantes en un points qu’on déterminera.

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle et soit $G$ le barycentre des points $(A;2)$, $(B;-4)$ et $(C;-6)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

2. Construire le point $G$.

3. Construire le point $J$ définie par cette relation : $\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.

4. Montrer que $J$ est le barycentre de $(B;-4)$ et $(C;-6)$.

5. Montrer que les points $A$, $J$ et $G$ sont alignés.

Soit $K$ un point tel que $B$ est le milieu du segment $\left[AK\right]$.

6. Montrer que $K$ est le barycentre des points $(A;2)$ et $(B;-4)$.

7. Montrer que G est le barycentre des points $(k;-2)$ et $(C;-6)$.

8. Déduire que les deux droits $\left(AJ\right)$ et $\left(KC\right)$ sont sécantes en un point qu’on déterminera.

9. Déterminer l’ensemble $\left\{M\in \mathcal{P}/||2\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-6\overrightarrow{MC}||=2AC\right\}$.

IV- Exercices

4-5/ Exercice 5

Soient $H$ le barycentre des points $(A;-1)$ et $(B;3)$ et $K$ le barycentre des points $(C;1)$ et $(D;1)$.

1. Construire les points $H$ et $K$.

2. Déterminer l’ensemble $\left\{M\in \mathcal{P}/||-\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}||\right\}$.

3. Construire le point $G$ le barycentre des points $(A;-1)$, $(B;3)$, $(C;1)$ et $(D;1)$.

IV- Exercices

4-6/ Exercice 6

Soient $A$, $B$ et $C$ des points du plan et $G_n$ le barycentre des points $(A;2)$, $(B;n)$ et $(C;n)$, où $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que $G_n$ existe pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Construire $G_1$ et $G_2$.

Soit $H$ un point tel que : $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$

3. Déterminer la valeur de $n$ pour que les points $H$ et $G_n$ et $C$ soient alignés.

4. Déterminer l’ensemble des points $\left\{M\in \mathcal{P}/||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{AB}||\right\}$.