Mathématiques : Tronc Commun

Séance 9 (Trigonométrie 1 - Règles du calcul trigonométrique)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Cercle trigonométrique

1-1/ Définition

1-2/ Remaque 

1-3/ Abscisses curvilignes

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-1/ Radian – grade

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

III- Lignes trigonométriques du réel x

IV- Signe de sinx et cosx et tanx

4-1/ Quadrant d’un cercle

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

4-3/ Angles remarquables

V- Relations entre les angles

5-1/ Angles opposés

5-2/ Angles supplémentaires

5-3/ Angles opposés supplémentaires

5-4/ Angles complémentaires

5-5/ Angles opposés complémentaires

5-6/ Résumé des formules précédentes

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Cercle trigonométrique 

 

1-1/ Définition : 

Tout cercle C du plan (P) tel que :

  • que son rayon est r=1.
  • qui est muni d’un origine I.
  • qui est orienté positif ( qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre ).

Ce cercle C est appelé cercle trigonométrique.

Si tous les cercles du plan sont orientés d’une orientation positive, on dit que le plan est orienté positif (ou direct).

 

 

1-2/ Remarque 

Si le plan est rapporté a un repère orthonormé (O,OI,OJ) et O est le centre du cercle C et le point J est placé dans le sens positif, on dit que le cercle trigonométrique C est lié au repère orthonormé (O,OI,OJ)=(O,i,j) (avec OI=i et OJ=j).

Pour tout le cours : le cercle C est le cercle trigonométrique d’origine I et son centre est le point O.

 

I- Cercle trigonométrique 

 

1-3/ Abscisses curvilignes

Mα+2kπ est un point de C, il existe un et un seul abscisse curviligne de M qui appartienne à ]-π,π] ( c.à.d. -π<απ). Cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de M.

Si M est situé sur le demi cercle «supérieure», la mesure principale appartienne à 0,π, sinon la mesure principale appartienne à ]-π,0].

Les abscisses curvilignes de I sont 0+2kπ=2, donc l’abscisse curviligne principale de I est .

Les abscisses curvilignes de J sont π2+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de J est π2.

Les abscisses curvilignes de I sont π+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de I est π.

Les abscisses curvilignes de J' sont -π2+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de J' est -π2.

 

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-1/ Radian – grade

Définition

A et B deux points du cercle trigonométrique (C) d’origine I et son centre est le point O et M un point de  (C) .

- La longueur de l’arc géométrique  IM  intercepte par l’angle géométrique IOM est la mesure de IOM  en  radian et se note rad ou rd.

- la mesure d’un angle plat en radian est égale à 180°=πrad

- la mesure d’un angle droit en radian est égale à 90°=π2rad

Remarque

Il existe une autre unité de mesure des angles, on l’appelle grade

On la note par gr tel que 180°=πrad=200gr et 90°=π2rad=100gr

Si la mesure d'un angle est x et y et z respectivement en degré et radian et grade, alors x180=yπ=z200.

Exemple

 

 

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

Définition 1

Soit [OA) et [OB) deux demi droites du plan P tel que AO et BO.

Le couple [OA),[OB) est appelé l’angle orienté du demi-droites, on le note OA,OB.

Le couple [OB),[OA) détermine un autre angle orienté, on le note OB,OA qui est différent de l’angle OA,OB.

Définition 2

On considère dans le plan P deux points A et B puis le cercle trigonométrique (C) de centre O tel que AO et BO.

Les deux demi-droites [OA) et [OB) coupent  respectivement en A'α et B'β tel que leurs abscisses curvilignes sont α et β. On a :

- Les mesures de l’angle orienté OA,OB sont les nombres réels β-α+2kπ k,

On note OA,OB¯β-α 2π  ou encore OA,OB¯=β-α+2kπ k.

On lit : mesures de l’angle orienté OA,OB congrue à β-α modulo 2π.

- La mesure qui vérifie β-α+2]-π,π] s’appelle la mesure principale de l’angle orienté OA,OB.

Exemple

 

 

Propriété

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient [OA) et [OB) et [OC) trois demi-droites de P.

On a :

OA,OA¯0 2π 

OA,OB¯-OB,OA¯ 2π 

OA,OB¯+OB,OC¯ OA,OC¯ 2π  : Relation de chasles

Exemple

 

 

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

Définition

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient u et v deux vecteurs non nuls de P.

Soient A et B deux points de P tel que u=OA et v=OB.

L’angle orienté des vecteurs u et v est l’angle orienté OA,OB (c.à.d. des deux demi-droites [OA) et [OB), on le note u,v.

Les mesures de l’angle orienté OA,OB sont appelées les mesures de l’angle orienté u,v, on note u,v¯.

On a : u,v¯OA,OB¯  2π

La mesure de l’angle orienté u,v qui appartienne à ]-π,π] est appelée la mesure principale de u,v.

Exemple

 

 

Propriété

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient u et v et w trois vecteurs non nuls de P.

On a :

u,u¯0 2π

u,v¯-v,u¯ 2π

u,v¯+v,w¯u,w¯ 2π

Exemple

 

III- Lignes trigonométriques du réel x

 

Définition

x est une abscisse curviligne du point MxC tel que C est le cercle trigonométrique d’origine I lié au repère orthonormé.

Mc,s par rapport au repère orthonormé direct.

Le réel c (abscisse de M) est appelé le sinus du réel x, on le note cosx, d’où cosx=cosi,OM¯=c.

Le réel s (ordonnée de M) est appelé le cosinus du réel x, on le note sinx, d’où sinx=sini,OM¯=s.

Le réel t (abscisse du point T) est appelé la tangente du réel x, on le note tanx, d’où tanx=tani,OM¯=t (sachant la droite T est tangente au cercle C en I et T[OM)=T).

 

 

 

 

Conséquences

x : sinx2+cosx2=1x : -1sinx1 et -1cosx1x : cosx+2kπ=cosxx : sinx+2kπ=sinxx-π2+kπ;k : tanx=sinxcosx et 1+tan2x=1cos2x

 

IV- Signe de sinx et cosx et tanx

 

4-1/ Quadrant d’un cercle

On divise le cercle en quatre arcs de même longueur suivant le sens positif.

x est une abscisse curviligne du point MxC.

Le 1er arc IJ : si MxIJ on dit que Mx est situé dans le premier quadrant.

Le 2ème arc JI' : si MxJI' on dit que Mx est situé dans le deuxième quadrant.

Le 3ème arc I'J' : si MxI'J' on dit que Mx est situé dans le troisième quadrant.

Le 4ème arc J'I : si MxJ'I on dit que Mx est situé dans le quatrième quadrant

 

 

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

 

 

4-3/ Angles remarquables

 

V- Relations entre les angles

 

5-1/ Angles opposés

sin-x=-sinxcos-x=cosxtan-x=-tanx

 

 

5-2/ Angles supplémentaires

sinπ-x=sinxcosπ-x=-cosxtanπ-x=-tanx

 

 

5-3/ Angles opposés supplémentaires

sinπ+x=-sinxcosπ+x=-cosxtanπ+x=-tanx

 

 

5-4/ Angles complémentaires

sinπ2-x=cosxcosπ2-x=sinxtanπ2-x=1tanx

 

 

5-5/ Angles opposés complémentaires

sinπ2+x=cosxcosπ2+x=-sinxtanπ2+x=-1tanx

 

 

5-6/ Résumé des formules précédentes

 

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Soit C un cercle trigonométrique et O;OI;OJ un repère orthonormé direct lié avec C.

  1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants :

A267π6  ;  B-238π3  ;  C25π4

  1. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

OA;OB^  ;  OC;OA^  ;  OC;OB^

  1. Placer les points AB et C dans le cercle trigonométrique C.

 

 

6-2/ Exercice 2

Soit x.

  1. Exprimer en fonction de sinx et cosx :

Ax=sin-x+cos-x+sinπ+x+cosπ-xBx=cosπ+x+cosπ2-x-sinx-π2+sin5π2+xCx=cosπ2+x+cosx-3π-sin5π2-x

  1. Calculer A3π4B-17π3 et C2017π6.

 

 

6-3/ Exercice 3

  1. Résoudre dans l’intervalle I les inéquations suivantes :

I1 : 2sinx-10 ; I=0,2πI2 :2cosx+1>0  ; I=]-π,π]I3 :2sinx-30  ; I=0,2πI4 : 2cosx+π4-10 ; I=0,2π

 

 

6-4/ Exercice 4

Pour tout x, on pose :

Ax=cosx+π2+sinx+π2+cosπ2-x+sinπ2-x

  1. Montrer que : Ax=2cosx
  1. Résoudre dans   l’équation : Ax=2
  1. Résoudre dans l’intervalle 0 ; 2π l’inéquation : Ax<2