Séance 6 - La droite dans le plan

Sommaire

I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan

1-2/ Coordonnées d’un point du plan

1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

II- Déterminant de deux vecteurs

III- Condition de colinéarité de deux vecteurs

IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points

V- Vecteur directeur d’une droite

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

6-1/ Représentation paramétrique d’une droite

6-2/ Équation cartésienne d’une droite

6-3/ Étude de l’ensemble des points $\left\{M\left(x,y\right)/ax+by+c=0\right\}$

VII- Droites parallèles dans le plan

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan

Définition

Soient $O$, $I$ et $J$ trois points non alignés du plan $\left(P\right)$,

on pose $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$

- le triplet $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est appelé repère du plan $\left(P\right)$

- le point O est appelé l’origine du repère.

- Le couple $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est appelé une base du plan $\left(P\right)$.

- la droite $\left(OI\right)$ s’appelle l’axe des abscisses.

- la droite $\left(OJ\right)$ s’appelle l’axe des ordonnés.

- Si $\left(OI\right)\perp \left(OJ\right)$, alors le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est un repère orthogonal

- Si $\left(OI\right)\perp \left(OJ\right)$ et $\left|\left|\overrightarrow{i}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{j}\right|\right|=1$, alors  le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est un repère orthonormé .

Exemples

I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

1-2/ Coordonnées d’un point du plan

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

- Pour tout point $M$ du plan $\left(P\right)$, il existe un et un seul couple $(x,y)\in \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Le couple $(x,y)$ est appelé couple des coordonnées du point $M$.

Le nombre $x$ est appelé abscisse du point $M$.

Le nombre $y$ est appelé ordonnée du point $M$.

Ot on écrit   $M(x,y)$ ou $M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

- Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $\left(P\right)$, il existe un seul couple $(x,y)\in \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

Le couple $(x,y)$ est appelé couple des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$.

Le nombre $x$ est appelé abscisse du vecteur $\overrightarrow{u}$.

Le nombre $y$ est appelé ordonnée du vecteur $\overrightarrow{u}$.

Ot on écrit   $\overrightarrow{u}\left(x,y\right)$ ou $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\end{array}\right)$ sont deux vecteurs de $\left(P\right)$.

$A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$ et $I\left(x_I,y_I\right)$ sont des points de $\left(P\right)$ et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$

On a :

- Le vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}x+x\text{'}\\ y+y\text{'}\end{array}\right)$. on note $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\left(x+x\text{'},y+y\text{'}\right)$.

- Le vecteur $\alpha \overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}\alpha x\\ \alpha y\end{array}\right)$. on note $\alpha \overrightarrow{u}\left(\alpha x,\alpha y\right)$.

- Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$, on note $\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)$

- $I\left(x_I,y_I\right)$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$, on a $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$.

Exemple

II- Déterminant de deux vecteurs

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\end{array}\right)$ sont deux vecteurs de $\left(P\right)$.

Le nombre $xy\text{'}-x\text{'}y$ est appelé le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

On note :

$det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ y& y\text{'}\end{array}\right|=xy\text{'}-yx\text{'}$

Exemple

III- Condition de colinéarité de deux vecteurs

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\end{array}\right)$ sont deux vecteurs de $\left(P\right)$ rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires équivaut à $det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0 \left(xy\text{'}-yx\text{'}=0\right)$

Exemple

IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ est un vecteur de $\left(P\right)$.

$A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$ sont deux points de $\left(P\right)$.

On a :

La norme (ou la longueur) du vecteur $\overrightarrow{u}$ est : $\left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

La distance entre A et B est : $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

Exemple

V- Vecteur directeur d’une droite

Définition

Soit $\left(D\right)$ une droite   passant par $A$ et $B$   

Tout vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ et colinéaire avec le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur directeur de la droite $\left(D\right)$.

et on  note : $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ ou $D\left(B,\overrightarrow{u}\right)$ ou $D\left(A,\overrightarrow{AB}\right)$.

Exemple

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

6-1/ Représentation paramétrique d’une droite

Définition

Soit $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ une droite du plan $\left(P\right)$ qui est rapporté au repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ tel que $A\left(x_A,y_A\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(a,b\right)$ .

L’écriture $\left\{\begin{array}{l}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\end{array} ; t\in \mathrm{ℝ}\right.$ est appelée représentation paramétrique de la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$.

Exemple

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

6-2/ Équation cartésienne d’une droite

Définition

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté à un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Toute droite $D\left(A\left(x_A,y_A\right);\overrightarrow{u}\right)$ du plan $\left(P\right)$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $c=x_A{y}_u-x_u{y}_A$ et $\overrightarrow{u}\left(-b,a\right)$ vecteur directeur de la droite $\left(D\right)$.

L’écriture $ax+by+c=0$ est appelée équation cartésienne de la droite $\left(D\right)$ avec $\overrightarrow{u}\left(-b,a\right)$ vecteur directeur de la droite $\left(D\right)$.

Exemple

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

6-3/ Étude de l’ensemble des points $\left\{M\left(x,y\right)/ax+by+c=0 ; \left(a,b\right)\ne \left(0,0\right)\right\}$

Définition

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté à un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$a,b,c\in \mathrm{ℝ}$ avec $\left(a,b\right)\ne \left(0,0\right)$.

l’ensemble des points $M\left(x,y\right)$ de $\left(P\right)$ qui vérifient $ax+by+c=0$ est la droite passant par le point $C\left(0,-\frac{c}{b}\right)$ si $b\ne 0$ (ou $C\text{'}\left(-\frac{c}{a},0\right)$ si $a\ne 0$) et qui a $\overrightarrow{u}\left(-b,a\right)$ comme vecteur directeur.

Exemple

VII- Droites parallèles dans le plan

Propriété

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté à un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont deux droites de $\left(P\right)$ tel que $\left(D\right) : ax+by+c=0$ et $\left(D\text{'}\right) : a\text{'}x+b\text{'}y+c\text{'}=0$.

$\left(D\right)\parallel (D\text{'})$ équivaut à $ab\text{'}-a\text{'}b=0$ ou $\frac{a}{b}=\frac{a\text{'}}{b\text{'}}$.

$\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont deux droites de $\left(P\right)$ tel que $\left(D\right) : y=mx+p$ et $\left(D\text{'}\right) : y=m\text{'}x+p\text{'}$.

$\left(D\right)\parallel (D\text{'})$ équivaut à $m=m\text{'}$.

Exemple

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

On considère les points suivants : $A\left(1;3\right)$, $B\left(-1;2\right)$ et $C\left(-2;-1\right)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

2. Calculer les distances suivantes : $AB$, $AC$ et $BC$.

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes : $2\overrightarrow{AB}$ et $-3\overrightarrow{BC}$.

4. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes $2\overrightarrow{AB}+\left(-3\right)\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

5. Déterminer les coordonnées du point $I$ le milieu du segment $\left[AB\right]$.

Soient $\overrightarrow{u}(3x+1;2)$ et $\overrightarrow{v}(4;y-3)$ deux vecteurs.

6. Déterminer $x$ et $y$ pour que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$.

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

On considère les points $A(3;2)$ et $B(2;-1)$ et la droite $\left(D\right)$ d’équation cartésienne $\left(D\right):3x-y+6=0$.

1. Montrer que $\left(AB\right)\parallel \left(D\right)$.

2. Donner une équation cartésienne de la droite $(D\text{'})$ passant par $A$ et dirigées par le vecteur $\overrightarrow{u}(4;-1)$.

3. Montrer que $\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont sécantes en $E(-1;3)$.

Soit $F(a;0)$ un point du plan.

4. Déterminer le nombre $a$ pour que le quadrilatère $ABFE$ soit un parallélogramme.

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

Soient $\overrightarrow{u}(-1;2)$, $\overrightarrow{v}(-4;1)$ et $w\left(2m-3;2\right) / \left(m\in \mathrm{ℝ}\right)$ trois vecteurs du plan.

1. Étudier la colinéarité de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

2. Déterminer la valeur du nombre $m$ pour que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ soient colinéaires.

3. Déterminer la valeur du nombre $m$ pour que $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ soient colinéaires.

On considère les points suivants : $A\left(1;-8\right)$, $B\left(11;7\right)$, $C\left(5;-1\right)$ et $D\left(7;2\right)$.

4. Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

5. Étudier l’alignement des points $E$, $F$ , et $G$ dans les cas suivants :

• $E\left(4;-2\right)$, $F\left(5;1\right)$ et $G\left(11;3\right)$.
• $E\left(-2;3\right)$, $F\left(0;-1\right)$ et $G\left(-1;1\right)$.

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

1. Étudier la position relative de $\left(D\right)$ et $\left(D\text{'}\right)$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left(D\right):6x-2y+3=0 et \left(D\text{'}\right):2x-\frac{1}{3}y-1=0 \\ \overline{)2} \left(D\right):x+2y-3=0 et \left(D\text{'}\right):-x-2y+4=0 \\ \overline{)3} \left(D\right):5x-3y+2=0 et \left(D\text{'}\right):2x-3y-5=0 \\ \overline{)4} \left(D\right):-2x-y+2=0 et \left(D\text{'}\right):\frac{1}{2}x-y-7=0 \end{gathered}$$