Séance 5 - L'ordre dans IR

Sommaire

I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels $\mathrm{ℝ}$

1-1/ Ordre dans $\mathrm{ℝ}$

1-2/ Propriétés de l’ordre et les opérations

II- Les intervalles – L'encadrement

2-1/ Les intervalles

2-2/ L'encadrement

III- Intersections et réunions d’intervalles

3-1/ Intersections d’intervalles

3-2/ Réunions d’intervalles

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés de la valeur absolue

4-3/ Distance et valeur absolue

V- Approximation – Approximation décimale

5-1/ Approximation

5-2/ Approximation décimale

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels $\mathrm{ℝ}$

1-1/ Ordre dans $\mathrm{ℝ}$

Soient $a,b\in \mathrm{ℝ}$

• Si $a\le b$ alors  $\left(a-b\right)\le 0$   , on dit que   $\left(b-a\right)\in {\mathrm{ℝ}}^{-}$
• Si $a<b$ alors  $\left(a-b\right)<0$   , on dit que   $\left(b-a\right)\in {\mathrm{ℝ}}^{-}*$
• Si $a\ge b$ alors  $\left(a-b\right)\ge 0$   , on dit que   $\left(b-a\right)\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$
• Si $a>b$ alors  $\left(a-b\right)>0$   , on dit que   $\left(b-a\right)\in {\mathrm{ℝ}}^{+}*$
•  

Exemple

I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels $\mathrm{ℝ}$

1-2/ Propriétés de l’ordre et les opérations

Soient $a,b,c,d\in \mathrm{ℝ}$

Si $a\le b$ et $b\le c$, alors $a\le c$ (l’ordre est transitive).

Si $a\le b$, alors $a+c\le b+c$ et $a-c\le b-c$.

Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$ (l’ordre est compatible avec l’addition).

Si $a\le b$ et $c>0$, alors $a\times c\le b\times c$ et $\frac{a}{c}\le \frac{b}{c}$.

Si $a\le b$ et $c<0$, alors $a\times c\ge b\times c$ et $\frac{a}{c}\ge \frac{b}{c}$.

Si $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe, on a : $a\le b$ équivaut à $\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}$.

Si $a$ et $b$ sont positifs, on a $a\le b$ équivaut $a^2\le b^2$.

Si $a$ et $b$ sont positifs, on a $a\le b$ équivaut $a^n\le b^n$ (avec $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$)

Si $a$ et $b$ sont positifs, on a $a\le b$ équivaut $\sqrt{a}\le \sqrt{b}$.

Exemple

II- Les intervalles – L'encadrement

2-1/ Les intervalles

Soient $a,b\in \mathrm{ℝ}$ tel que $a<b$.

Pour les intervalles suivants $\left[a,b\right]$ et $]a,b[$ et $[a,b[$ et $]a,b]$, on a :

$a$ et $b$ sont appelés les extrémités des intervalles.

Le nombre positif $b-a$ est appelé la distance entre $a$ et $b$.

Le nombre positif $b-a$ est appelé la longueur (ou capacité) des intervalles précédents.

Le nombre $x_0=\frac{a+b}{2}$ représente le centre des intervalles précédents .

Le nombre positif $r=\frac{b-a}{2}$ représente le rayon des intervalles précédents.

Les deux symboles $-\infty$ et $+\infty$ et ne sont pas des nombres.

$$\begin{gathered} {\mathrm{ℝ}}^{+}*=]0;+\infty [ \\ {\mathrm{ℝ}}^{+}=[0;+\infty [ \\ {\mathrm{ℝ}}^{-}*=]-\infty ;0[ \\ {\mathrm{ℝ}}^{-}=]-\infty ;0] \\ ]a;a[=\varnothing \end{gathered}$$

$\varnothing$ est un intervalle appelé ensemble vide.

II- Les intervalles – L'encadrement

2-2/ L'encadrement

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

Réaliser un encadrement du nombre $x$, c’est trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tel que $a\le x\le b$ ou bien $a\le x<b$ ou bien $a<x\le b$ ou bien $a<x<b$.

Le nombre réel positif $b-a$ s’appelle l’amplitude de cet encadrement.

Exemple

III- Intersections et réunions d’intervalles

3-1/ Intersections d’intervalles

$A$ et $B$ sont deux ensembles.

Tous les éléments communs de $A$ et de $B$ constituent l’ensembles noté $A\cap B$ appelé intersection de $A$ et $B$.

Donc : $A\cap B=\left\{x/x\in A et x\in B\right\}$

Exemple

III- Intersections et réunions d’intervalles

3-2/ Réunions d’intervalles

$A$ et $B$ sont deux ensembles.

Tous les élémentsqui appartiennent soit à $A$ ou soit à $B$ constituent l’ensembles noté $A\cup B$ appelé union de $A$ et $B$.

Donc : $A\cup B=\left\{x/x\in A ou x\in B\right\}$

Exemple

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-1/ Définition

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

$\left(D\right)$ est une droite graduée d’origine $O$ et d’unité de mesure $OI=1$.

Le point $M$ est un point de $\left(D\right)$ dont l’abscisse est $x$.

La valeur absolue du nombre $x$ est la distance $OM$, on note $OM=\left|x\right|$.

Remarques

$$\begin{gathered} \left|-x\right|\ge 0 \\ x\ge 0\Rightarrow \left|x\right|=x \\ x\le 0\Rightarrow \left|x\right|=-x \\ \left|0\right|=0 \\ \left|-x\right|=\left|x\right| \end{gathered}$$

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-2/ Propriétés de la valeur absolue

Pour tout $a$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\left|a\times b\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|$.

Pour tout $a$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\left|a^n\right|={\left|a\right|}^n \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$ et $\left|a^{-n}\right|={\left|a\right|}^{-n} \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

Pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$.

Pour tout $b$ de $\mathrm{ℝ}*$, on a $\left|\frac{1}{b}\right|=\frac{1}{\left|b\right|}$.

Pour tous $a$ de $\mathrm{ℝ}$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$.

Pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on a $\left|a\right|=\left|b\right|$ équivaut à $a=b$ ou $a=-b$.

Exemple

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-3/ Distance et valeur absolue

Définition

Soit une droite graduée d’origine $O$.

Notons $A$ d’abscisse $a$ et $B$ d’abscisse $b$.

Le nombre positif $\left|b-a\right|$ est appelé la distance entre les points entre $A$ et $B$.

On a $AB=\left|b-a\right|$.

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-3/ Distance et valeur absolue

Propriétés

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ de et $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$

$\left|x\right|\le r$ équivaut à $-r\le x\le r$.

$\left|x\right|<r$ équivaut à $-r<x<r$.

$\left|x\right|\ge r$ équivaut à $x\le -r$ ou $x\ge r$.

$\left|x\right|>r$ équivaut à $x<-r$ ou $x>r$.

$\left|x-x_0\right|\le r$ équivaut à $x_0-r\le x\le x_0+r$.

On a $\left[a,b\right]=\left[x_0-r,x_0+r\right]$ avec $x_0=\frac{a+b}{2}$ centre de l’intervalle et $r=\frac{b-a}{2}$  son rayon.

V- Approximation – Approximation décimale

5-1/ Approximation

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ et $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}*$.

- On dit que $a$ est une valeur approchée (ou approximation) de $x$ à $r$ près (ou à la précision $r$) lorsque $x$ vérifie $\left|x-a\right|\le r$.

- On dit que $a$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $b-a$ près lorsque $x$ vérifie $a\le x\le b$.

- On dit que $b$ est une valeur approchée par excès   de $x$ à  $b-a$  près  lorsque $x$ vérifie $a\le x\le b$.

- On dit que $\frac{a+b}{2}$ est une valeur approchée  de $x$ à $\frac{a-b}{2}$ près (ou à la précision $r$) lorsque $x$ vérifie $a\le x\le b$.

Exemple

V- Approximation – Approximation décimale

5-2/ Partie entière

Pour tout nombre réel $x$ il existe un nombre entier relatif unique $p$ tel que $p\le x<p+1$.

Le nombre $p$ s’appelle la partie entière de $x$, on note : $E\left(x\right)=p$.

Exemple

V- Approximation – Approximation décimale

5-2/ Approximation décimale

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ alors il existe un entier naturel  $p$ tel que  $n\times {10}^{-p}\le x\le \left(n+1\right)\times {10}^{-p}$), d’où :

Le nombre décimal $n\times {10}^{-p}$ est appelé approximation décimale par défaut du nombre $x$ à la  précision ${10}^{-p}$  .

Le nombre décimal $\left(n+1\right)\times {10}^{-p}$ est appelé approximation décimale par excès du nombre $x$ à la précision ${10}^{-p}$  .

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soient $A=3\sqrt{18}-\sqrt{72}$ et $B=\sqrt{28}+\sqrt{32}-2\sqrt{2}$

1. Montrer que $A-B=\sqrt{2}-2\sqrt{7}$

2. Comparer $A$ et $B$

On pose $x=2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$ et $y=\sqrt{39-12\sqrt{10}}$

3. Montrer que $x\ge 0$

4. Calculer $x^2$ et $y^2$

5. Comparer $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$

Soient $a$ et $b$ des nombres réels avec $a\ge 2$ et $b\ge 2$

On pose $X=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $Y=\sqrt{ab}+1$

6. Montrer que $X^2-Y^2=\left(a-1\right)\left(1-b\right)$

7. Comparer $X$ et $Y$

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $3\le a\le 9$ et $2\le b\le 7$

1. Encadrer les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \le a+b\le ; \le a-b\le \\ \le a\times b\le ; \le 2a+3b\le \\ \le -a+5b\le ; \le \frac{a}{b}\le \\ \le \frac{2a+3b}{-a+5b}\le ; \le a^2+b^2\le \end{gathered}$$

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1\le x\le 2$ et $5\le y\le 9$

2. Encadrer les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \le x+y\le ; \le x-y\le \\ \le x\times y\le ; \le \frac{x}{y}\le \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Soient $a\in \mathrm{ℝ}$ et $b\in \mathrm{ℝ}$ avec $a\in ]0;1[$ et $b=\frac{1+\sqrt{a}}{2}$

1. Montrer que $\frac{1}{2}<b<1$

2. Montrer que $b-1=\frac{a-1}{2\left(1+\sqrt{a}\right)}$

3. En déduire que $\left|b-1\right|<\frac{1}{2}\left|a-1\right|$

4. Déduire une valeur approchée de $\frac{1+\sqrt{0,6}}{2}$ à $2\times {10}^{-1}$ prés.

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

On pose $E=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

1. Montrer que $E-1=\frac{-x^2}{\sqrt{1+x^2}+1+x^2}$

2. Montrer que $x^2+\sqrt{1+x^2}+1\ge 2$

3. Déduire que $\left|E-1\right|\le \frac{1}{2}\left|x^2\right|$

4. Déterminer une valeur approchée de $\frac{1}{\sqrt{1,0004}}$ à $2\times {10}^{-4}$ prés.