Séance 1-2-2 : Limites et continuité - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

5-2/ Exercice 2-2

5-3/ Exercice 2-3

5-4/ Exercice 2-4

5-5/ Exercice 2-5

5-6/ Exercice 2-6

5-7/ Exercice 2-7

5-8/ Exercice 2-8

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_0$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{\sqrt{x^2+5}-3} \left(x\ne 2\right)\\ f\left(2\right)=18\end{array}\right. ; x_0=2 \\ \overline{)2} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\left(x^2-9\right)\sin \left(\frac{1}{x-3}\right) \left(x\ne 3\right)\\ f\left(3\right)=0\end{array}\right. ; x_0=3 \\ \overline{)3} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{{\left(1-\tan x\right)}^2}{1+\cos 4x} \left(x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\\ f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right. ; x_0=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

V- Exercices II

5-2/ Exercice 2-2

On considère la fonction numérique $g$ définie par :

$\left(\begin{array}{c}g\left(x\right)=\left(2x+\mathrm{\pi }\right)\tan x si x\in ]-\mathrm{\pi };-\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\\ g\left(x\right)=\frac{1-{\cos }^{3}x}{x.\tan x.{\cos }^{2}x} si x\in ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};0[\\ g\left(x\right)=\frac{3\sqrt{1+x^4}-x}{2+x} si x\in [0;+\infty [\end{array}\right)$

1. Calculer les limites suivantes :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right) ; \underset{x\to -{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{+}}{\lim }g\left(x\right) ; \underset{x\to -{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{-}}{\lim }g\left(x\right)$

2. Établir la continuité de la fonction $g$ en $0$.

V- Exercices II

5-3/ Exercice 2-3

Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $x_0$ puis donner ce prolongement :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=\frac{2x^{17}-17x+15}{x-1} ; x_0=1 \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{x^n-a^n}{x-a} ; x_0=a \left(a\in \mathrm{ℝ} , n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\frac{\sin \left(\mathrm{\pi }\sqrt{\mathrm{cosx}}\right)}{x} ; x_0=0 \\ \overline{)4} f\left(x\right)=\frac{x^{p+1}-\left(p+1\right)x+p}{{\left(x-1\right)}^2} ; x_0=1 \left(p\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \\ \overline{)5} f\left(x\right)=\frac{\tan x-1}{\sqrt{2}\cos x-1} ; x_0=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

V- Exercices II

5-4/ Exercice 2-4

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left(\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x^3+6}{2x-3} si x\le -1\\ f\left(x\right)=\cos \left(\mathrm{\pi x}\right) si -1<x<1\\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+3} si x\ge 1\end{array}\right)$

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathrm{ℝ}$.

V- Exercices II

5-5/ Exercice 2-5

1. Montrer que l'équation $x^5+x^3-x^2+x+1=0$ admet une unique solution dans $]-\infty ;\frac{1}{2}]$.

2. Montrer que la courbe de la fonction $f$, telle que $f\left(x\right)=2x^3+3x+4$ coupe l'axe des abscisses en un seul point dont l'abscisse $\alpha$ est tel que $-1<\alpha <0$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=x^3-6x^2+11$

3. Montrer que l'équation $g\left(x\right)=0$ admet trois solutions distinctes dans $\mathrm{ℝ}$, notées $x_1$, $x_2$ et $x_3$. (On adoptera l'ordre suivant $x_1<x_2<x_3$).

4. En déduire le signe de $g\left(x\right)$ sur $\mathrm{ℝ}$.

V- Exercices II

5-6/ Exercice 2-6

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x} si 0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ f\left(0\right)=0\end{array}\right.$

1. Montrer que : $\left(\forall x\in ]0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\right) \sin x\le x\le \tan x$

2. En déduire que pour tout $x\in ]0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ : $0<f\left(x\right)<\frac{1-\cos x}{\sin x}$

3. Étudier la continuité de $f$ à droite de $0$.

V- Exercices II

5-7/ Exercice 2-7

Soit $f$ une fonction définie de $\left[0;1\right]$ dans $\left[0;1\right]$ et continue sur $\left[0;1\right]$.

1. Établir que $\left(\exists c\in \left[0;1\right]\right) f\left(c\right)+f\left(1-c\right)=2c$

V- Exercices II

5-8/ Exercice 2-8

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*-\left\{1\right\}$.

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x^{n+1}-2x^n+1$

1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;\frac{2n}{n+1}\right]$.

2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$.

3. Montrer qu’il existe au moins un réel $\alpha \in ]\frac{2n}{n+1};2[$ tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

4. Vérifier que ${\alpha }^n=\frac{1}{2-\alpha }$.