الحصة 5-1 : التعداد (الدرس)

الفهرس

I- المجموعات

II- رئيسي مجموعة

III- مبدأ الجمع

IV- مبدأ الجداء

V- الأعداد $A_n^p$ و $C_n^p$

VI- أنواع السحب

I- المجموعات

تعريف

$E$ مجموعة و $A$ و $B$ جزءان منها.

1- تقاطع $A$ و $B$ هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى $A$ وإلى $B$ في نفس الوقت، ونرمز لها بالرمز $A\cap B$

ولدينا : $\left(x\in A\cap B\right)\iff \left(x\in A و x\in B\right)$

2- اتحاد $A$ و $B$ هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى $A$ أو إلى $B$، ونرمز لها بالرمز $A\cup B$

ولدينا : $\left(x\in A\cup B\right)\iff \left(x\in A وأ x\in B\right)$

3- متممة $A$ في $E$ هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى $E$ ولا تنتمي إلى $A$، ونرمز لها بالرمز $\overline{A}$

ولدينا : $x\in \overline{A}\iff \left(x\in E و x\notin A\right)$

مثال

II- رئيسي مجموعة

تعريف

لتكن $E$ مجموعة منتهية، أي تحتوي على عدد منته من العناصر.

تسمى عدد عناصر $E$ رئيسي $E$، ونرمز لها بالرمز $card\left(E\right)$

مثال

III- مبدأ الجمع

تعريف

لتكن $E$ مجموعة منتهية و $A_1$ و $A_2$ و...و $A_p$ أجزاء من $E$ بحيث : $A_i\cap A_j=\varnothing$ (لكل $i$ و $j$ بحيث $i\ne j$).

لدينا : $card\left(E\right)=card\left(A_1\right)+card\left(A_2\right)+...+card\left(A_p\right)$

مثال

IV- مبدأ الجداء

تعريف

إذا كانت وضعية التعداد مكونة من $p$ اختيار،‏ وكان عدد الكيفيات التي تتم بها هذه الاختيارات هو $n_1$  و $n_2$ و ... و $n_p$،‏ فإن عدد الإمكانيات في هذه الوضعية هو : $n_1\times n_2\times ....\times n_p$

مثال

V- الأعداد $A_n^p$ و $C_n^p$

تعريف

ليكن $p$ و $n$ عددين طبيعيين بحيث $p\le n$

لدينا :

$$\begin{gathered} A_n^p=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)....\left(n-p\right) \\ n!=n\left(n-1\right)....2\times 1=A_n^n \\ {C}_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!} \end{gathered}$$

مثال

VI- أنواع السحب

تعريف

ليكن صندوق يحتوي على $n$ كرة، نسحب عشوائيا $p$ كرة من الصندوق $\left(p\le n\right)$.

1- إذا كان السحب في آن واحد (يعني نسحب الكرات دفعة واحدة)، فإن عدد السحبات الممكنة هو $C_n^p$.

2- إذا كان السحب بالتتابع وبدون إحلال ( يعني سحب الكرات واحدة تلو الأخرى وبدون إرجاع الكرة المسحوبة إلى الصندوق)، فإن عدد السحبات الممكنة هو $A_n^p$.

3- إذا كان السحب بالتتابع وبإحلال (يعني سحب الكرات واحدة تلو الأخرى مع إرجاع الكرة المسحوبة إلى الصندوق)، فإن عدد السحبات الممكنة هو $n^p$.

مثال