الحصة 3-1 : عموميات حول الدوال العددية (الدرس)

الفهرس

I- زوجية دالة عددية

II- الدالة المكبورة ‏والدالة المصغورة

III- مقارنة دالتين

IV- رتابة دالة

I- زوجية دالة عددية

تعريف

$f$ دالة عددية مجموعة تعريفها $D_f$.

نقول إن $f$ دالة زوجية إذا كان لكل $x$ من $D_f$ :

$\left\{\begin{array}{l}-x\in D_f\\ f\left(-x\right)=f\left(x\right)\end{array}\right.$

نقول إن $f$ دالة فردية إذا كان لكل $x$ من $D_f$ :

$\left\{\begin{array}{l}-x\in D_f\\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{array}\right.$

مثال

II- الدالة المكبورة ‏والدالة المصغورة

تعريف

$f$ دالة عددية مجموعة تعريفها $D_f$، و $I$ مجال ضمن $D_f$.

نقول أن $f$ مكبورة على $I$ إذا وُجد عدد حقيقي $M$ بحيث : $f\left(x\right)\le M$ لكل $x$ من $I$.

نقول إن $f$ مصغورة على $I$ إذا وُجد عدد حقيقي $m$ بحيث : $f\left(x\right)\ge m$ لكل $x$ من $I$.

نقول إن $f$ محدودة على $I$ إذا كانت مصغورة ومكبورة على $I$، أي : $m\le f\left(x\right)\le M$ لكل $x$ من $I$.

مثال

III- مقارنة دالتين

تعريف

تتم مقارنة دالتين $f$ و $g$ على مجال $I$ بإحدى التقنيات التالية :

1- حساب ودراسة إشارة $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ على المجال $I$.

2- دراسة الوضع النسبي للمنحنين $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ و $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ للدالتين $f$ و $g$.

يكون $f\left(x\right)>g\left(x\right)$ عندما يقع $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ فوق $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ على $I$.

أفاصيل نقط تقاطع $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ و $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ إذا وجدت هي حلول المعادلة : $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

مثال

IV- رتابة دالة

تعريف

$f$ دالة عددية و $I$ مجال ضمن مجموعة تعريفها.

$f$ تزايدية‏ على $I$ إذا وفقط إذا كان : $\left(x<y\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(y\right)\right)$ لكل $x$ و $y$ من $I$.

$f$ تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $\left(x<y\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(y\right)\right)$ لكل $x$ و $y$ من $I$.

مثال