مبرهنة فيتاغورس وجيب تمام زاوية حادة - تمارين محلولة

1

التمرين 1

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث أن:

$A B = 3$ و $A C = 4$

حساب $B C$

بما أن $A B C$ قائم الزاوية في $A$ فإنه حسب مبرهنة فيتاغورس

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

نعلم أن $A B = 3$ و $A C = 4$

إذن $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2}$

أي $B C^{2} = 9 + 16$ أي $B C^{2} = 25$

أي $B C = \sqrt{25}$ ومنه $B C = 5$
2

التمرين 2

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث أن:

$A B = 7, 8$ و $A C = 16$

احسب $B C$

(لاحظ أن ${(17, 8)}^{2} = 316, 84$

حساب $B C$

لدينا $A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

وبما أن $A B = 7, 8$ و $A C = 16$

فإن $B C^{2} = {(7, 8)}^{2} + 16^{2}$

ومنه $B C = 60, 84 + 256$

أي $B C^{2} = 316, 84$

أي $B C = \sqrt{316, 84}$

وبما أن ${(8, 71)}^{2} = 316, 84$

فإن $B C = \sqrt{{(17, 8)}^{2}}$

أي $B C = 17, 8$
3

التمرين 3

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $B$ حيث أن: $A C = 6$ و $B C = 4$

احسب $\cos \hat{B C A}$

الشكل:

بما أن المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $B$ فإن وتره هو الضلع $[A C]$ والضلع المحاذي للزاوية $\hat{B C A}$ هو $[B C]$ إذن في المثلث $A B C$

لدينا: $\cos B \hat{C} A = \frac{B C}{A C}$

وفي المعطيات نعلم أن: $B C = 4 c m$ و $A C = 6 c m$

إذن $\cos B \hat{C} A = \frac{4}{6}$ أي $\cos B \hat{C} A = \frac{2}{3}$
4

التمرين 4

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث أن: $A B = 3$ و $A C = 4$

احسب $\cos \hat{A C B}$ و $\cos \hat{A B C}$

الشكل:

أولا نحسب المسافة $B C$ :

بما أن المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ فإنه حسب مبرهنة فيتاغورس

لدينا: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

وبما أن $A C = 4 c m$ و $A B = 3 c m$

فإن $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2}$

يعني أن $B C^{2} = 9 + 16$

يعني أن $B C^{2} = 25$

أي $B C = 5$

حساب $\cos \hat{A C B}$ و $\cos \hat{A B C}$ :

في المثلث $A B C$ لدينا: $\cos A \hat{C} B = \frac{A C}{B C}$ و $\cos A \hat{B} C = \frac{A B}{B C}$

وبما أن $A C = 4$ و $A B = 3$ و $B C = 5$

فإن $\cos A \hat{C} B = \frac{4}{5}$ و $\cos A \hat{B} C = \frac{3}{5}$
5

التمرين 5

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$

حيث أن: $\cos \hat{A B C} = \cos \hat{A C B}$

قارن المسافتين $A B$ و $A C$

(يمكنك رسم المثلث)

نقارن المسافتين $A B$ و $A C$ :

في المعطيات نعلم أن المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ وأن $\cos \hat{A B C} = \cos \hat{A C B}$

إذن بما أن $\cos A \hat{B} C = \frac{A B}{B C}, \cos A \hat{C} B = \frac{A C}{B C}$

فإننا نستنتج أن: $\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{B C}$

أي $A B = A C$
6

التمرين 6

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث أن: $A B = 5$ و $B C = 14$

لتكن: $M$ نقطة من نصف المستقيم $[B A)$ حيث أن: $A M = 14$ و $N$ هي نقطة من المستقيم $B C$

حيث أن المستقيمين $(B C)$ و $(M N)$ متعامدان

احسب $\cos \hat{A B C}$

احسب المسافة $B N$

الشكل:

حساب $\cos \hat{A B C}$

في المثلث $A B C$ القائم الزاوية في $A$

لدينا: $\cos A \hat{B} C = \frac{A B}{B C}$ وفي المعطيات نعلم أن $A B = 5$ و $B C = 14$ إذن: $\cos A \hat{B} C = \frac{5}{14}$

حساب $B N$ :

بما أن $\hat{A B C} = \hat{M B N}$ فإن $\cos A \hat{B} C = \cos M \hat{B} N = \frac{5}{14}$

وفي المثلث $B M N$ القائم الزاوية في $N$ لدينا $\cos M \hat{B} N = \frac{B N}{B M}$

وبما أن $B M = 14 + 5$ أي $B M = 19$ و $\cos M \hat{B} N = \frac{5}{14}$

فإن $\frac{5}{14} = \frac{B N}{19}$ أي $B N = 19 \times \frac{5}{14}$

أي $B N = \frac{95}{14}$
7

التمرين 7

انظر الشكل أسفله

احسب $A H$ و $C H$

حساب $A H$

لدينا $A B H$ مثلث قائم الزاوية في $A$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس $A H^{2} = H B^{2} + A B^{2}$

$A H^{2} + {(\frac{16}{5})}^{2} = 4^{2}$

$A H^{2} + \frac{256}{25} = 16$

$A H^{2} = 16 - \frac{256}{25}$

$A H^{2} = \frac{400}{25} - \frac{256}{25}$

$A H^{2} = \frac{144}{25}$

$A H = \sqrt{\frac{144}{25}}$

$A H = \frac{12}{5}$

$A H = 2, 4$

حساب $C H$

لدينا $A H C$ مثلث قائم الزاوية في $H$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس $C H^{2} + A H^{2} = A C^{2}$

نعلم أن $A H = \frac{12}{5}$ و $A C = 3$

$C H^{2} + \frac{144}{25} = 9$

$C H^{2} = 9 - \frac{144}{25}$

$C H^{2} = \frac{225}{25} - \frac{144}{25}$

$C H^{2} = \frac{81}{25}$

$C H = \sqrt{\frac{81}{25}}$

$C H = \frac{9}{5}$
8

التمرين 8

$A B C$ مثلث قائم الزاوية في $A$ و $[A H]$ ارتفاع له

قارن $A C$ و $A H$

لدينا $[A H]$ ارتفاع في المثلث $A B C$ القائم الزاوية في $A$

إذن $(B C) ⊥ (A H)$

ومنه $A H C$ مثلث قائم الزاوية في $H$

وبالتالي $[A C]$ وتر في المثلث $A H C$

ومنه $A C > A H$

Retour

مبرهنة فيتاغورس وجيب تمام زاوية حادة - تمارين محلولة

التمرين 1

حساب $B C$

التمرين 2

حساب $B C$

التمرين 3

التمرين 4

أولا نحسب المسافة $B C$ :

حساب $\cos \hat{A C B}$ و $\cos \hat{A B C}$ :

التمرين 5

نقارن المسافتين $A B$ و $A C$ :

التمرين 6

حساب $\cos \hat{A B C}$

حساب $B N$ :

التمرين 7

حساب $A H$

حساب $C H$

التمرين 8

Maroc

France

Plus

مبرهنة فيتاغورس وجيب تمام زاوية حادة - تمارين محلولة

التمرين 1

حساب BC

التمرين 2

حساب BC

التمرين 3

التمرين 4

أولا نحسب المسافة BC:

حساب cos ACB^ و cos ABC^:

التمرين 5

نقارن المسافتين AB و AC:

التمرين 6

حساب cos ABC^

حساب BN:

التمرين 7

حساب AH

حساب CH

التمرين 8

Maroc

France

Plus

حساب $B C$

حساب $B C$

أولا نحسب المسافة $B C$ :

حساب $\cos \hat{A C B}$ و $\cos \hat{A B C}$ :

نقارن المسافتين $A B$ و $A C$ :

حساب $\cos \hat{A B C}$

حساب $B N$ :

حساب $A H$

حساب $C H$