الترتيب والعمليات - تمارين محلولة

أرتب الأعداد $a=2^{100}$ و $b=3^{75}$ و $c=5^{50}$ ترتيبا تزايديا

لدينا:

$a=2^{100}={\left(2^4\right)}^{25}={16}^{25}$

$b=3^{75}={\left(3^3\right)}^{25}={27}^{25}$

$c=5^{50}={\left(5^2\right)}^{25}={25}^{25}$

إذن بما أن $16<25<27$ فإن: ${16}^{25}<{25}^{25}<{27}^{25}$

يعني أن: ${\left(2^4\right)}^{25}<{\left(5^2\right)}^{25}<{\left(3^3\right)}^{25}$ يعني أن: $\boxed{2^{100}<5^{50}<3^{75}}$

أي أن: $\boxed{a<c<b}$

أحدد تأطيرا للعدد $x$ في كل حالة:

$4<3x-5<7,3$

$4+5<3x<7,3+5$

$\frac{9}{3}<x<\frac{12,3}{3}$

$\boxed{3<x<4,1}$

$-5\le 4-7x\le -2$

$-5-4\le -7x\le -2-4$

$-9⩽-7x\le -6$

$6\le 7x\le 9$

$\boxed{\frac{6}{7}\le x\le \frac{9}{7}}$

$2<\frac{3x-5}{4}<5$

$8<3x-5<20$

$8+5<3x<20+5$

$\boxed{\frac{13}{3}<x<\frac{25}{3}}$

ننشر ${\left(x-2\right)}^2$

لدينا ${\left(x-2\right)}^2=x^2-4x+4$

إذن بما أن ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$ فإن $x^2-4x+4\ge 0$

يعني أن: $x^2\ge 4x-4$  يعني أن $x^2\ge 4\left(x-1\right)$

نبين أن: $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}+\frac{z^2}{z-1}\ge 12$

حسب جواب السؤال (أ) السابق نعلم أنه مهما يكن العدد الحقيقي $x$ لدينا: $x^2\ge 4\left(x-1\right)$

إذن نستنتج: $y^2\ge 4\left(y-1\right)$ و  $z^2\ge 4\left(z-1\right)$

وبما أن $x>1$ و $y>1$ و $z>1$

فإن  $x-1>0$ و $y-1>0$ و $z-1>0$

إذن:$x^2\ge 4\left(x-1\right)$

$\frac{x^2}{x-1}\ge 4$

$y^2\ge 4\left(y-1\right)$

$\frac{y^2}{y-1}\ge 4$

$z^2\ge 4\left(z-1\right)$

$\frac{z^2}{z-1}\ge 4$

ومنه نستنتج أن: $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}+\frac{z^2}{z-1}\ge 4+4+4$

يعني أن $\boxed{\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}+\frac{z^2}{z-1}\ge 12}$

ننشر ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2$

${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2={\sqrt{a}}^2-2\sqrt{a}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{a}$

يعني أن ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2=a-2+\frac{1}{a}$

استنتاج ان $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 6$

حسب جواب السؤال ( أ) السابق نعلم أنه لكل عدد حقيقي موجب قطعا $a$

لدينا:${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2=a-2+\frac{1}{a}$

إذن بما أن $b>0$ و $c>0$

فإننا نستنتج كذلك أن ${\left(\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2=b-2+\frac{1}{b}$

وأن: ${\left(\sqrt{c}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)}^2=c-2+\frac{1}{c}$

وبما أن ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2\ge 0$ وأن: ${\left(\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2\ge 0$

وأن : ${\left(\sqrt{c}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)}^2\ge 0$

فإن:  $a+\frac{1}{a}-2\ge 0$ و $b+\frac{1}{b}-2\ge 0$  و $c+\frac{1}{c}-2\ge 0$

يعني أن: $a+\frac{1}{a}\ge 2$ و $b+\frac{1}{b}\ge 2$ و $c+\frac{1}{c}\ge 2$

ومنه نستنتج أن: $a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 2+2+2$

يعني أن $\boxed{a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 6}$

أبرهن على أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية:

لدينا $\frac{2AB}{5}=\frac{AC}{6}=\frac{2BC}{13}$

إذن $\frac{2AB}{5}=\frac{2BC}{13}$ و  $AC=\frac{12BC}{13}$

يعني أن $AB=\frac{5BC}{13}$ و $AC=\frac{12BC}{13}$

يعني أن $\left(1\right)\boxed{A{B}^2=\frac{25B{C}^2}{169}}$

و  $\left(2\right)\boxed{A{C}^2=\frac{144B{C}^2}{169}}$

إذن من $\left(1\right)$ و $\left(2\right)$ نستنتج أن:

$A{B}^2+A{C}^2=\frac{25B{C}^2}{169}+\frac{144B{C}^2}{169}$

يعني أن $A{B}^2+A{C}^2=\frac{169B{C}^2}{169}$

يعني أن $\boxed{A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2}$

وهذا يعني أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ تطبيقا لمبرهنة فيتاغورس العكسية