Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 7-3 : Calcul intégral - Problème de synthèse
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
VII- Problème de synthèse
7-1/ Partie 1
7-2/ Partie 2
VII- Problème de synthèse
7-1/ Partie 1
On considère la fonction numérique fn définie sur ℝ* par : f(x)=e-xx
- Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition.
- Montrer que : (∀x∈ℝ) ex≥x+1
- Étudier les variations de la fonction f.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,→i,→j).
- Étudier les branches infinies de la courbe C.
- Tracer la courbe C.
VII- Problème de synthèse
7-3/ Partie 2
On considère la fonction F définie sur ℝ+ par :
{F(x)=∫4x2x2f(t)dt (x>0)F(0)=2ln2
- a- Vérifier que : ∫4x2x21tdt=2ln2
- b- En utilisant le résultat de la question 2 de la partie 1, montrer que : (∀t>0) -t≤e-t-1≤0
- a- Montrer que : (∀x>0) -3x2≤F(x)-2ln2≤0
- b- En déduire que la fonction F est continue et dérivable à droite en zéro.
- a- Montrer que : (∀t≥1) f(t)<e-t
- b- En déduire la limite suivante : limx→+∞F(x)
- a- Montrer que F est dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[, puis calculer F'(x).
- b- Dresser le tableau des variations de F.
- c- Construire Cf, la courbe représentative de F dans le repère (O,→i,→j).
Soit G la fonction numérique définie sur ]0;+∞[ par : G(x)=∫4xxe-tln(t)dt
- Montrer que pour tout x∈]0;+∞[ : G(x)=F(√x)-e-4xln(4x)+e-xln(x)
- Calculer la limite : limx→0+(e-x-e-4x)lnx
- En déduire la limite : limx→0+G(x)