Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 7-3 : Calcul intégral - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

7-2/ Partie 2

 


 

7-1/ Partie 1

On considère la fonction numérique fn définie sur * par : f(x)=e-xx

  1. Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition.
  2. Montrer que : (x) exx+1
  3.  Étudier les variations de la fonction f.

Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j).

  1. Étudier les branches infinies de la courbe C.
  2. Tracer la courbe C.

 

 

7-3/ Partie 2

On considère la fonction F définie sur + par :

{F(x)=4x2x2f(t)dt (x>0)F(0)=2ln2

  1. a- Vérifier que : 4x2x21tdt=2ln2
  1. b- En utilisant le résultat de la question 2 de la partie 1, montrer que : (t>0) -te-t-10
  1. a- Montrer que : (x>0) -3x2F(x)-2ln20
  1. b- En déduire que la fonction F est continue et dérivable à droite en zéro.
  1. a- Montrer que : (t1) f(t)<e-t
  1. b- En déduire la limite suivante : limx+F(x)
  1. a- Montrer que F est dérivable sur l'intervalle ]0;+[, puis calculer F'(x).
  1. b- Dresser le tableau des variations de F.
  1. c- Construire Cf, la courbe représentative de F dans le repère (O,i,j).

Soit G la fonction numérique définie sur ]0;+[ par : G(x)=4xxe-tln(t)dt

  1. Montrer que pour tout x]0;+[ : G(x)=F(x)-e-4xln(4x)+e-xln(x)
  1. Calculer la limite : limx0+(e-x-e-4x)lnx
  1. En déduire la limite : limx0+G(x)