Physique et Chimie : 1ère Année Bac

Séance 6 (Travail et énergie cinétique)

 

 

Professeur : Mr EL GOUFIFA Jihad

 


Sommaire

 

I- Définition

II- Énergie cinétique d'un corps solide

2-1/ Énergie cinétique d'un solide en translation

2-2/ Énergie cinétique d'un solide en rotation

2-3/ Moments d'inertie de quelques solides usuels

III- Théorème de l'énergie cinétique

3-1/ Activité expérimentale

3-2/ Énonce du théorème de l'énergie cinétique

3-3/ Interprétation énergétique

3-4/ Procédure d’application

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

 


I- Définition

 

L’énergie cinétique d’un solide est l’énergie qu’il possède du fait de son mouvement.

L’énergie cinétique se note Ec, c’est un nombre toujours positif qui s’exprime en Joule (J) dans le S.I.

Comme la valeur de la vitesse, l’énergie cinétique dépend du référentiel choisi.

 


II- Énergie cinétique d'un corps solide

 

2-1/ Énergie cinétique d'un solide en translation

Pour un solide animé d’un mouvement de translation, tous les points du solide ont à chaque instant la même vitesse que le centre d’inertie G.

L’énergie cinétique Ec d’un solide en mouvement de translation est donnée par la relation :

 


II- Énergie cinétique d'un corps solide

 

2-2/ Énergie cinétique d'un solide en rotation

Soit un solide indéformable de masse M en mouvement de rotation autour d’un axe fixe Δ de vitesse angulaire ω :

Chaque point de solide Ai a une masse mi est une vitesse linéaire vi, donc il possède une énergie cinétique : Eci=12mivi2

On sait que vi=ri.ω avec ri est le rayon de la trajectoire circulaire du point Ai.

Donc : Eci=12miri2ω2

L’énergie cinétique totale du solide est : Ec=i=1nEci=i=1n12miri2ω2=12ω2i=1nmiri2

On pose JΔ=i=1nmiri2, d’où :

 Ec=12JΔω2 

JΔ s’appelle le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation Δ, il dépend de la répartition de la masse autour de l’axe de rotation, sont unité est : kg.m2.

 


II- Énergie cinétique d'un corps solide

 

2-3/ Moments d'inertie de quelques solides usuels

 


III- Théorème de l'énergie cinétique

 

3-1/ Activité expérimentale

On abandonne, sans vitesse initiale, un autoporteur de masse m=700g sur une table à coussin d’air inclinée d’un angle α=10° par rapport à l’horizontale.

On enregistre les positions du centre d’inertie toutes les 60ms, on obtient l’enregistrement :

G0G1=3mm  ;  G1G2=9mm  ;  G2G3=15mm  ;  G3G4=21mm

G4G5=27mm  ;  G5G6=33mm  ;  G6G7=39mm

On prend : g=9,8N.Kg-1

  1. Faire le bilan des forces extérieures agissant sur le mobile.
  1. Déterminer l’expression de travail de chaque force, quand le centre d’inertie de l’autoporteur se déplace de la position G3 à la position G5, et déduire la somme des travaux des forces appliquées sur l’autoporteur entre ces deux positions WG3G5F.
  1. Calculer l’énergie cinétique de l’autoporteur dans chaque positions G3 et G5, et déduire ΔEC=EC5-EC3 la variation de l’énergie cinétique de l’autoporteur.
  1. Déduire la relation entre ΔEC=EC5-EC3 de l’autoporteur et WG3G5F.

 


III- Théorème de l'énergie cinétique

 

3-2/ Énonce du théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique ΔEC d’un solide en translation ou en rotation autour d’un axe fixe, entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants t1 et t2 :

 ΔEC=ECB-ECA=WABF 

 

  • Cas de mouvement de translation : ΔEC=12mvB2-vA2
  • Cas de mouvement de rotation : ΔEC=12JΔωB2-ωA2

 


III- Théorème de l'énergie cinétique

 

3-3/ Interprétation énergétique

C’est le travail des forces extérieures appliquées qui fait varier l’énergie cinétique du solide, on dit que le travail mécanique est un mode de transfert de l’énergie.

Si le travail des forces appliquées est moteur WABF>0, l’énergie cinétique du solide augmente, donc sa vitesse augmente.

Si le travail des forces appliquées est résistant WABF<0, l’énergie cinétique du solide diminue, donc sa vitesse diminue.

 


III- Théorème de l'énergie cinétique

 

3-4/ Procédure d’application

Lors de l'application du théorème de l'énergie cinétique, il faut suivre les étapes suivantes :

  1. Déterminer le système étudié.
  2. Déterminer le référentiel (repère galiléen).
  3. Déterminer l’état initial et l’état final de déplacement.
  4. Faire le bilan des forces appliquées au système étudié lors de déplacement.
  5. Calculer le travail de chaque force lors de déplacement.
  6. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique considérant le cas du mouvement de système étudié (translation ou rotation).

 


IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

On considère un corps solide S de masse m=50Kg peut se déplacer sur un rail ABCD, formé d’une partie AB de forme circulaire de rayon R, d’une partie rectiligne BC rectiligne horizontale et d’une partie CD inclinée d’un angle α=30° par rapport au plan horizontal.

Le solide S part du point A sans vitesse initiale (VA=0) et il passe par le point B avec une vitesse VB=10 m/s :

On prend : g=10 N/Kg.

Le mouvement de S sur la partie AB : les frottements sont négligeables.
  1. Énoncer le théorème d’énergie cinétique.
  1. En appliquant ce théorème, montré que l’expression de R le rayon de la partie AB est R=VB22.g. Calculer sa valeur R.
Le mouvement de S sur la partie BC : les frottements ne sont pas négligeables

Le solide S aborde la piste BC et arrive au point C avec une vitesse VC=6m/s.

  1. En appliquant le théorème d’énergie cinétique, Trouver la valeur de WBCR.
  1. En déduire la valeur de f l’intensité de la force de frottement. On donne BC=80m.
Le mouvement de S sur la partie CD : les frottements sont négligeables

Le solide S aborde la piste CD et s’arrête au point D.

  1. Exprimer le travail du poids en fonction de mg et h.
  1. En appliquant le théorème d’énergie cinétique entre C et D, montrer que l’expression de l’altitude h du point C par rapport au plan horizontal est h=VC22.g. Calculer sa valeur.
  1. Exprimer h en fonction de CD et sinα, en déduire la valeur de CD.

 


IV- Exercices

 

4-2/ Exercice 2

On considère un corps solide (S) de masse m=0,1Kg peut se déplacer sur un rail ABC, formé d’une partie AB de forme circulaire de rayon r, et d’une partie rectiligne BC rectiligne horizontale.

Le mobile est lancé en A avec une vitesse VA=5m.s-1 verticale dirigée vers le bas et glisse sur la portion curviligne AB sans frottement :

Données : r=OA=OB=1mBC=L=1,5m ; g=10 m.s-2.

  1. Faire un bilan des forces s’appliquant sur le mobile au point M.
  1. Exprimer pour chacune des forces son travail au cours de déplacement de A à M en fonction de m, gr et θ.
  1. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre A et M, et établir l'expression littérale de la vitesse VM du mobile en fonction de VA, gr et θ.
  1. Calculer numériquement VM en B (pour θ=0).

La portion BC rectiligne et horizontale est rugueuse. Les frottements peuvent être assimilés à une force f unique, constante, opposée au mouvement, d'intensité f.

  1. Sachant que le mobile arrive en C avec la vitesse VC=5 m.s 1, déterminer littéralement puis numériquement f.

 


IV- Exercices

 

4-3/ Exercice 3

Une machine tournante a une fréquence de rotation égale à 200tr/min.

Son moment d'inertie par rapport à son axe de rotation est égal à 50kg.m2. On prendra g=10N/kg.

Pour l'arrêter on exerce une force tangentielle constante de 150N.

  1. Calculer la variation d'énergie cinétique au cours du freinage.
  1. Calculer le moment de la force de freinage sachant que la machine peut être assimilée à un disque de diamètre 80cm.
  1. Calculer le nombre de tours effectués par la machine avant l'arrêt.

 


IV- Exercices

 

4-4/ Exercice 4

Le système schématisé ci-dessus comprend :

  • Un solide (S) de masse m=32kg pouvant glisser sans frottement sur un plan incliné faisant avec l’horizontale un angle α=30°.
  • Une poulie homogène de rayon r=5cm, pouvant tourner autour d’un axe fixe et horizontal Δ passant par son centre. Son moment d’inertie par rapport à cet axe est JΔ.

La poulie est actionnée par un moteur dont l’arbre est lié à l’axe Δ, le moment du couple moteur est constant Mm=10N.m.

Les frottements dus à l’axe Δ sont équivalents à un couple de moment constant Mc.

La poulie et le solide (S) sont reliés par l’intermédiaire d’un fil inextensible et sans masse.

Sur la figure suivante, on représente l’évolution de l’énergie cinétique du corps (S) en fonction de l’abscisse x du centre d’inertie de (S) sur l’axe Ox :

A la date tA(S) arrive en A, l’effet du moteur est supprimé. On donne g=10N.kg-1.

  1. Justifier que la vitesse de (S) au point A vaut 5m.s-1. En déduire ωA la vitesse angulaire de la poulie à l’instant tA.
  1. Exprimer la tension T du fil en fonction de mg et α. Calculer T.
  1. Exprimer le moment Mc en fonction de Tr et Mm. Calculer sa valeur.

A l’instant tA, le moteur s’arrête et le fil n’est pas tendu, le corps (S) continue à monter jusqu’au point B, où il s’arrête, la poulie continue à tourner avant de s’arrêter après avoir effectué n tours sous l’effet du couple de frottement.

  1. Déterminer la distance AB.
  1. Déterminer le moment d’inertie JΔ de la poulie.
  1. Exprimer le nombre de tours n effectués par la poulie dans cette étape en fonction de ω, JΔ et Mc.

 


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