Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 7 (Les polynômes)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Notion de polynôme

1-1/ Approche sur les polynômes

1-2/ Vocabulaire

1-3/ Définitions

II- Égalité de deux polynômes

III- Somme et produit de deux polynômes

IV- Racine d’un polynôme

V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

5-1/ Définition et propriété

5-2/ Cas particuliers

5-3/ Méthodes pour déterminer le quotient Q(x) et le reste P(a)

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Notion de polynôme

 

1-1/ Approche sur les polynômes

Une usine de carton décide de construire une boite de carton de la forme d’un parallélépipède droit pour une usine de jus d’orange dont les dimensions sont :

Soit V(x) le volume de la boite

  1. Vérifier que V(x)=2x3-60x2+450x.
  1. Quel est le volume (exprimée en litre) de la boite si on donne à x les valeurs suivants : x=5 et x=10.

 


I- Notion de polynôme

 

1-2/ Vocabulaire

L’expression 2x3-60x2+450x est appelée polynôme de degré 3.

On note les polynômes par P(x) ou Q(x) ou R(x) ....

Pour le degré on note d°V=3.

Les nombres 2 et -60 et 450 sont appelés les coefficients du polynômes.

 


I- Notion de polynôme

 

1-3/ Définitions

x variable de  et n.

-L’expression Px=a0+a1x+a2x2+...+anxn est appelée polynôme 

- si an0 alors n est le degré de P 

- Chaque terme de cette somme est appelé monôme (exemple a2x2 est un monôme de degré 2).

- Les réels a0, a1, a2,......., an-1 et an sont appelés les coefficients du polynômes

- Si P(x)=a0  et avec a00 on a degP=0.

- Si a0=a1=a2=...=an-1=an=0 alors P(x)=0, d’où P(x) n’a pas de degré, le polynôme est appelé le polynôme nul.

 


II- Égalité de deux polynômes

 

Propriété

P(x) et Q(x) sont deux polynômes égaux si et seulement si deg(P)=deg(Q) et les coefficients des monômes de même degré sont égaux.

Exemple

 


III- Somme et produit de deux polynômes

 

Propriété

La somme de deux polynôme P(x) et Q(x) est un polynôme noté par P(x)+Qx, tel que degP+QsupdegP;degQ.

Le produit de deux polynôme P(x) et Q(x) est un polynôme noté par P(x)×Qx, tel que degP×Q=degP+degQ.

Exemple

 


IV- Racine d’un polynôme

 

Propriété

On dit qu'un réel α est un racine (ou zéro) d’un polynôme P(x) si et seulement si Pα=0.

Exemple

 


V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

 

5-1/ Définition et propriété

Soit P(x) un polynôme de degré n (n*), et a un réel.

Le polynôme P(x) s’écrit de la forme P(x)=x-aQ(x)+P(a) avec deg(Q)=n-1.

Le polynôme Q(x) est le quotient de la division euclidienne de P(x) par x-a.

Le réel P(a) est appelé le reste de la division euclidienne de P(x) par x-a.

 


V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

 

5-2/ Cas particuliers

Si P(a)=0 (a est un zéro ou racine du polynôme), on obtient P(x)=x-aQ(x).

dans ce cas on dit :

  • Le polynôme P(x) est divisible par x-a.
  • Le polynôme P(x) est factorisé par x-a.
Exemple

 


V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

 

5-3/ Méthodes pour déterminer le quotient Q(x) et le reste P(a)

Px=6x3-5x2+4 et a=2

 

Méthode 1

 

Px=6x3-5x2+4Px=x-2Qx+P2Px=x-2ax2+bx+c+32Px=ax3+b-2ax2+c-2bx-2c+32

Donc on a :

6=a-5=b-2a0=c-2b4=-2c+32a=6 ; b=7 ; c=14

Conclusion :

 Px=x-26x2+7x+14+32 

 


V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

 

5-3/ Méthodes pour déterminer le quotient Q(x) et le reste P(a)

Px=6x3-5x2+4 et a=2

Méthode 2 : La division euclidienne

 


V- Division d’un polynôme par le binôme x-a a

 

5-3/ Méthodes pour déterminer le quotient Q(x) et le reste P(a)

Px=6x3-5x2+4 et a=2

Méthode 3 : Schéma de Horner

 


VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Soient Px et Qx deux polynômes tels que Px=a-1x2+2x+c et Qx=3x2+b-1x-3

  1. Déterminer ab et c pour que P(x)=Q(x)

On a Rx=2x3-5x2-4x+3 et Sx=x+1x-3ax+b

  1. Déterminer a et b pour que Rx=Sx
  1. Déterminer a et b pour que P=Q

 


VI- Exercices

 

6-2/ Exercice 2

Déterminer la division de  Px sur x-α dans les cas suivants :

1 Px=x3-3x2+4x-4   et   α=22 Px=x4-3x2+x-2   et   α=-23 Px=x3+3x2+4x+12   et   α=-3

 


VI- Exercices

 

6-3/ Exercice 3

Soit Px=2x3+5x2-x-6

  1. Montrer que (-2) est une racine de Px.
  1. Déterminer le polynôme Qx tel que Px=x+2Qx.
  1. Montrer que Qx est divisible par x-1.
  1. Factoriser Qx, puis déduire la factorisation en produit des binômes.
  1. Résoudre l’équation Px=0.

 


VI- Exercices

 

6-4/ Exercice 4

Soit Px=2x4-9x3+14x2-9x+2

  1. Montrer que 0 n’est pas une racine de Px.
  1. Montrer que si α est une racine de Px, alors 1α est aussi est une racine de Px.
  1. Montrer que 2 est une racine de Px.
  1. En effectuant la division euclidienne de Px par x-2, déterminer le polynôme Qx tel que Px=x-2Qx.
  1. Déduire que Q12=0.
  1. Déterminer ab et c tels que Qx=x-12ax2+bx+c.
  1. Factoriser Px en produit de binômes.
  1. Résoudre l’équation Px=0.

 


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