Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 4 (La projection dans le plan)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

1-1/ Vocabulaire

1-2/ Définition

1-3/ Cas particulier

II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

2-1/ Théorème de Thalès direct

2-2/ Théorème de Thalès réciproque

III- Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

 


I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

 

1-1/ Vocabulaire

Le point M' est appelé projection du point M sur D parallèlement à la droite Δ.

La droite Δ est appelée la direction de la projection .

Le point M1 est appelé projection du point M sur Δ parallèlement à la droite D.

 


I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

 

1-2/ Définition

D et Δ sont deux droites sécantes en O.

M est un point du plan P.

La droite qui passe par le point M et parallèle à la droite Δ coupe la droite D en un point M' qui est appelé la projection du point M sur D parallèlement à la droite Δ.

 


I- Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite

 

1-3/ Cas particulier

Si DΔ, le point M' est appelé la projection orthogonale de M sur la droite D.

La relation p est appelé la projection orthogonale dans le plan P.

Si D n'est pas perpendiculaire à Δ, La relation p est appelé projection oblique ou simplement projection.


II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

 

2-1/ Théorème de Thalès direct

Énoncé du théorème

D1 et D2 sont deux droites sécantes en O.
 
Soient A et B deux points distincts de D1.

Soient A' et B' deux points distincts de D2 tel que AA'BB'

On a :

OBOA=OB'OA'=BB'AA'

 


II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

 

2-1/ Théorème de Thalès direct

Théorème direct de Thalès exprimé en utilisant la projection

D et Δ sont deux droites sécantes à une troisième droite.

A et B et C sont trois points distincts alignés tel que AB n'est pas parallèle à Δ.

A' et B' et C' sont leurs projections respectivement sur D parallèlement à Δ.

On a :  ACAB=A'C'A'B' 

 


II- Théorème de Thalès direct et réciproque en utilisant la projection

 

2-2/ Théorème de Thalès réciproque

Énoncé du théorème

D et Δ sont deux droites sécantes en A.

A et B et C sont trois points de D.

A' et B' et C' sont trois points de Δ dans le même ordre que A et B et C.

Si ACAB=AC'AB' alors BB'CC'.

 


III- Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

 

D et Δ sont deux droites sécantes  et CD=kAB  ( le nombre k s’appelle le coefficient de colinéarité des vecteurs CD et AB )

si  A' et B' et C' et D'  sont les projetés  respectfs des points A, B, C, et D  sur D parallèlement à Δ.

Alors  on a   C'D'=kA'B',        on dit la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

 


IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

ABC est un triangle et I est le milieu de BC.
 
Soit D un point vérifiant AD=35AI.

E est le projeté de D sur BC parallèlement à AB, et F est le projeté de D sur BC parallèlement à AC.

  1. Construire une figure.
  1. Montrer que BE=35BI et CF=35CI.
  1. En déduire que I est le milieu de EF.

 


IV- Exercices

 

4-2/ Exercice 2

Soit ABC un triangle et soient D un point de la droite (BC) DBC, et O un point du plan tel que AO=34AD.

Soient E et F deux points du plan tels que :

E est le projeté du point D sur la droite AC parallèlement à la droite OC.

F est le projeté du point D sur la droite AB parallèlement à la droite OB.

  1. Montrer que AC=34AE.
  1. Montrer que AB=34AF.
  1. Montrer que EFBC.

 


IV- Exercices

 

4-3/ Exercice 3

ABCD un parallélogramme et E un point tel que AE=34AC.

F est le projeté du point E sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrer que CF=14CB.
  1. Montrer que EF=14AB.

Soit M un point tel que MB=14AB.

  1. Montrer que MEBC.

 


IV- Exercices

 

4-4/ Exercice 4

ABC est un triangle.

Soient E et F deux points du plan tels que: AE=13AB et AF=-12AB.

On considère E' et F' les projetés respectifs de E et F sur la droite (AC) parallèlement à (BC).

  1. Construire une figure convenable.
  1. Écrire les vecteurs AE' et AF' en fonction de AC.
  1. En déduire que EE'=13BC et FF'=-12BC.
  1. Conclure que EE'FF'=23.

 


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