Maths 3AC - Examen Régional 1

I- Exercice 1

1. Résoudre les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} 3x+1=x+9 \\ \overline{)2} \left(x+1\right)\left(2x-5\right)=0 \end{gathered}$$

2. Résoudre l’inéquation :

$3x-1\le -x+7$

3. Résoudre le système suivant :

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=53\\ 4x+y=49\end{array}\right.$

4. Problème

Chez le marchand des fruits, Fatima a payé 53Dhs pour l’achat de 3Kg de bananes et 2Kg de pommes.

Chez le même vendeur, Ahmed a payé 98Dhs pour l’achat de 8Kg de bananes et 2Kg de pommes.

• Détermine le prix d’un kilogramme de bananes et le prix d’un kilogramme de pommes.

II- Exercice 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O,I,J\right)$, on considère les points : $A(0,2)$, $B(1,0)$ et $C(4,4)$.

1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis calcule la distance $AB$.

2. Montrer que $y=\frac{1}{2}x+2$ est l’équation de la droite $\left(AC\right)$.

3) Soit $\left(D\right)$ la droite passant par $A$ et perpendiculaire à la droite $\left(AC\right)$.

• a- Montrer que $y=-2x+2$ est l’équation de la droite $\left(D\right)$.
• b- Vérifier que le point $B$ appartient à la droite $\left(D\right)$.
• c- Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
• d- Calculer l’aire du triangle $ABC$.

III- Exercice 3

Soit $f$ la fonction linéaire tel que $f\left(1\right)=3$, et $\left(D\right)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left(O,I,J\right)$.

1. Déterminer $f\left(x\right)$ en fonction de $x$.

2. Tracer la droite $\left(D\right)$ dans le repère $\left(O,I,J\right)$.

Soit $g$ la fonction affine tel que $g\left(-1\right)=-1$ et $\left(\Delta \right)$ sa représentation graphique qui passe par le point $A\left(-2,-3\right)$.

3. Montrer que $g\left(x\right)=2x+1$.

4. Recopier et compléter le tableau suivant :

5. Tracer la droite $\left(\Delta \right)$ dans le repère $\left(O,I,J\right)$.

6. Déterminer graphiquement le couple des coordonnées du point d’intersection des droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$.

IV- Exercice 4

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ et $T$ la translation qui transforme $A$ en $B$.

1. Tracer le point $E$ image de $O$ par la translation $T$.

2. Déterminer l’image du point $D$ par la translation $T$.

3. Montrer que $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{EC}$.

V- Exercice 5

On a un vaporisateur du parfum sous forme d’une pyramide régulière $SABCD$ de sommet A et de base le carré $ABCD$ telles que $SA=SB=SC=SD=14,7cm$

$H$ est le point d’intersection des deux diagonales de la base.

1. Calculer $SH$ sachant que $DB=12\sqrt{2}$.

Pour toutes les questions qui suivent on prend $12cm$ comme valeur approché de $SH$.

2. Calcule le volume de la pyramide $SABCD$.

La partie supérieur $SA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ est sous forme d’un couvercle, c’est une réduction par 1/2 de la pyramide $SABCD$.

3. Calculer le volume du couvercle.

4. Calculer le volume du bol $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ qui contient le parfum.