Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (11 pts)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $f\left(x\right)=3e^{2x}-4e^x+1$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter géométriquement le résultat.

2. Vérifier que $f\left(x\right)=e^x\left(3e^x-4+\frac{1}{e^x}\right) ; \forall x\in \mathrm{ℝ}$

3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

4. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=2e^x\left(3e^x-2\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

5. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$

6. Vérifier que $f\left(\ln \frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{3}$, puis donner le tableau de variation de $f$.

7. Vérifier que $f\left(x\right)=\left(3e^x-1\right)\left(e^x-1\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

8. En déduire que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ coupe l’axe des abscisses au point $O$ et au point $I(-\ln 3;0)$

9. Montrer que $f"\left(x\right)=4e^x\left(3e^x-1\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

10. Étudier le signe de $f"\left(x\right)$ puis déduire le point d’inflexion de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

11. Déterminer l’équation de la tangente de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point $O$.

12. Représenter $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ (avec $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=2cm$ et $\ln 2\approx 0,7$ et $\ln 3\approx 1,1$)

II- Exercice 2 (9 pts)

Partie 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $g\left(x\right)=e^x-x$.

1. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ puis déduire leur signe.

2. Calculer $g\left(0\right)$ puis donner le tableau de variation de $g$ (le calcul des limites n’est pas,demandé).

3. En déduire que $g\left(x\right)>0$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

Partie 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $f\left(x\right)=2e^x-x^2$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

4. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$, et interpréter géométriquement le résultat.

5. Vérifier que $f\left(x\right)=2x^2\left(\frac{e^x}{x^2}-\frac{1}{2}\right) ; \forall x\in \mathrm{ℝ}*$.

6. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

7. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=2g\left(x\right)$pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

8. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ puis donner le tableau de variation de la fonction $f$.

9. Vérifier que $f"\left(x\right)=2\left(e^x-1\right) ; \forall x\in \mathrm{ℝ}$

10. Étudier le signe de $f"\left(x\right)$

11. En déduire que $I\left(0;2\right)$ est un point d’inflexion de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.