Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Séance 14 (Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 
I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

1-3/ Propriétés

II- Base et repère orthonormé

2-1/ Rappel

2-2/ Technique

2-3/ Définitions

III- Expression analytique de u.v

IV- Ensemble des points M(x,y,z) tel que AM.u=k

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

5-1/ Vecteur normal à un plan

5-2/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que ax+by+cz+d=0

5-3/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que AM.n=0

VI- Distance d’un point à un plan

6-1/ Définition

6-2/ Propriété

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

7-2/ Parallélisme et orthogonalité d’une droite et un plan

IIX- Étude analytique de la sphère

8-1/ Définition d'une sphère

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre [AB]

8-4/ L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

IX- Exercices

9-1/ Exercice 1

9-2/ Exercice 2

9-3/ Exercice 3

9-4/ Exercice 4

9-5/ Exercice 5

9-6/ Exercice 6

 


I- Produit scalaire dans l’espace

 

1-1/ Définition

Soient u et v deux vecteurs non nul de l’espace E

A, B et C sont trois points de E tel que u=AB et v=AC

H est la projection de C sur la droite (AB).

Le produit scalaire de u et v est noté par u.v ou AB.AC tel que :

Cas 1

u.v=AB.AC=AB.AH

Cas 2

u.v=AB.AC=-AB.AH

 

 

1-2/ Remarques

u.u=u2 est le carré scalaire de u et est toujours positif.
 
u.u=AB est la norme du vecteur AB, on note : u=u.u=AB.

uvu.v=0.

u.v=u×v×cosu,v^

u et v sont colinéaire u.v=u×v

Exemple

 

 

 

1-3/ Propriétés

u et v et w trois vecteurs de l’espace E et α.

On a :

u2=u2

Symétrie du produit scalaire : u.v=v.u

Positivité du produit scalaire : u.u=u20

Non dégénère : u.u=0u=0

Linéarité du produit scalaire : u.v+w=.u.v+u.wv+w.u=v.u+w.uu.αv=αu.v=αu.v

u+v2=u2+2u.v+v2u-v2=u2-2u.v+v2u+vu-v=u2-v2

Exemple

 

 

I- Base et repère orthonormé

 

2-1/ Rappel

u et v et w trois vecteurs de l’espace E rapporté à une base i,j,k

Le déterminant des vecteurs u et v et w dans cet ordre est le nombre :

detu,v,w=xx'x''yy'y''zz'z''detu,v,w=xy'y''z'z''-yx'x''z'z''+zx'x''y'y''detu,v,w=xy'z''-xz'y''+-yx'z''+yz'x''+zx'y''-zy'x''

u et v et w sont coplanaires si et seulement si detu,v,w=0

 

 

2-2/ Technique

Exemple

 

 

 

2-3/ Définitions

i,j,k est une base de l’espace E équivaut à i et j et k ne sont pas coplanaires : det i,j,k0

Prenons un point O de l’espace E

Le quadruplé O,i,j,k est appelé repère de E

Si i.j=j.k=k.i=0 et i=j=k=1, alors :

  • La base i,j,k est une base orthonormée.
  • Le repère O,i,j,k est un repère orthonormé.

Exemple

 

 

III- Expression analytique de u.v

 

Propriété

Le produit scalaire de u et v est : u.v=xyz.x'y'z'=xx'+yy'+zz'

La norme du vecteur u est : u=u.u=x2+y2+z2.

La distance AB est : AB=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2.

Exemple

 

 

IV- Ensemble des points M(x,y,z) tel que AM.u=k

 

Propriété

AxA,ya,zA est un point et ua,b,c est un vecteur non nul de l’espace E et k.
 
L’ensemble des points Mx,y,z de l’espace E tel que AM.u=k est un plan P d’équation de la forme :ax+by+cz+d=0.

Exemple

 

 

V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal

 

5-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Tout vecteur n non nul sa direction est perpendiculaire au plan (P) s’appelle vecteur normal au plan (P).

Remarques

Si n est normale au plan P(A,u,v), alors nu et nv.

Si n est normale au plan (P) et passe par A le plan (P) est noté par P(A,n).

Exemple

 

 

 

Définition

Tout vecteur n non nul sa direction est perpendiculaire au plan (P) s’appelle vecteur normal au plan (P).

Remarques

Si n est normale au plan P(A,u,v), alors nu et nv.

Si n est normale au plan (P) et passe par A le plan (P) est noté par P(A,n).

Exemple

 

 

 

5-2/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que ax+by+cz+d=0

Propriété

L’ensemble des points Mx,y,z de l’espace E qui vérifie ax+by+cz+d=0 avec a,b,c0,0,0 est un plan, et le vecteur non nul na,b,c est un vecteur normal à ce plan.

Exemple

 

 

5-3/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que AM.n=0

Propriété 1

na,b,c est un vecteur non nul et A(xA,yA,zA) est un point de l’espace E.
 
L’ensemble des points Mx,y,z de l’espace E qui vérifie AM.n=0 est le plan (P) qui passe par A et le vecteur n est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. P(A,n)).

Le plan (P) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 avec d=-(axA+byA+czA).

Exemple

 

 

Propriété 2

Tout plan P(A,na,b,c) a pour équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 la réciproque avec a,b,c0,0,0.

Exemple

 

VI- Distance d’un point à un plan

 

6-1/ Définition

(P) est un plan et A est un point de l’espace  et H est la projection orthogonale de A sur le plan (P).

La distance du point A au plan (P) est AH, et on note AH=d(A,(P)).

Exemple

 

 

6-2/ Propriété

(P) est un plan et A(xA,yA,zA) est un point de l’espace E tel que (P) a pour équation ax+by+cz+d=0.
 
La distance du point A au plan (P) est :

 AH=dA,P=axA+byA+czA+da2+b2+c2 

Exemple

 

VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

 

7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans

Propriété

Soient P1:ax+by+cz+d=0 et P2:a'x+b'y+c'z+d'=0.

P2P1n'=αn
P2P1n'.n=0
Exemple

 

 

Propriété

Soient PB,n et DA,u

DPu.n=0
DPu=αn
Exemple

 

IIX- Étude analytique du sphère

 

8-1/ Définition d'une sphère

Ω est un point donné de l’espace E et R>0

L’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace E tel que ΩM=R s’appelle le sphère de centre Ω et de rayon R.

On note S ou SΩ,R

 

 

8-2/ Équation cartésienne d’une sphère

L'équation cartésienne de S=SΩa,b,c,R est :

Mx,y,zSΩM=R

x-a2+y-b2+z-c2=R2

x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 avec d=a2+b2+c2-R2

 

 

 

8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre [AB]

Définition

Ω est le milieu de AB
 
AB est un diamètre du sphère S donc A et B appartiennent à S

On dit la sphère de diamètre AB on note S ou SAB.

Propriété

L'équation cartésienne de SAB est : Mx,y,zSABMA.MB=0

ou bien x-xAx-xB+y-yAy-yB+z-zAz-zB=0

 

8-4/ L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0

 

On pose A=a2+b2+c2-4d

L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 est :

  • E= si A<0
  • E=Ω-a2,-b2,-c2 si A=0
  • La sphère E=SΩ-a2,-b2,-c2,R=A2 si A>0

 

 

IIX- Étude analytique de la sphère

 

8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan

Cas 1 : d=ΩH>R

PS=

Cas 2 : d=ΩH=R

PS=H ; P et S sont tangents en H avec HΩP

Cas 3 : d=ΩH<R

PS=C ; P coupe S suivant le cercle de centre H et de rayon r=Rc=R2-d2

Équation du plan tangent à une sphère

Par un point A quelconque d’une sphère (S) il existe un et un seul plan (Q) tangente au sphère (S) au point A.

L’équation de (Q) est : MQAM.AΩ=0

 

 

8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite

Cas 1 : d=ΩH>R

DS=

Cas 2 : d=ΩH=R

DS=H ; D et S sont tangents en H avec HΩD

Cas 3 : d=ΩH<R

D coupe S en deux points A et B (Deux points mais pas le segment AB)

 

IX- Exercices

 

9-1/ Exercice 1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i,j,k, on considère les points A(2,1,3), B(3,1,1)C(2,2,1) et la sphère (S) d’équation :

x2+y2+z2-2x+2y-34=0

  1. Montrer que ABAC=2i+2j+k
  1. En déduire que 2x+2y+z-9=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
  1. Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω1,-1,0 et pour rayon 6.
  1. Montrer que dΩ,ABC=3, et en déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle Γ.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).
  1. Montrer que le point B est le centre du cercle Γ.

 

 

9-2/ Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i,j,k, on considère le plan P passant par le point A0,1,1 et dont u1,0,-1 est un vecteur normal et la sphère S de centre le point Ω0,1,-1 et de rayon 2.

  1. Montrer que x-z+1=0 est une équation cartésienne du plan P.
  1. Montrer que le plan P est tangent à la sphère S et vérifier que B-1,1,0 est le point de contact.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ passant par le point A et orthogonale au plan P.
  1. Montrer que la droite Δ est tangente à la sphère S au point C1,1,0.
  1. Montrer que OCOB=2k et en déduire l’aire du triangle OCB.

 

 

9-3/ Exercice 3

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct O,i,j,k.

On considère la sphère S d’équation x2+y2+z2-2x-2y-2z-1=0 et le plan P d’équation y-z=0.

  1. Montrer que la sphère S a pour centre le point Ω1,1,1 et pour rayon 2.
  1. Calculer dΩ,P et en déduire que le plan P coupe la sphère S suivant un cercle C.
  1. Déterminer le centre et le rayon du cercle C.

Soit Δ la droite passant par le point A1,-2,2 et orthogonale au plan P.

  1. Montrer que u0,1,-1 est un vecteur directeur de la droite Δ.
  1. Montrer que ΩAu=2u et en déduire que la droite Δ coupe la sphère S en deux points.
  1. Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite Δ et de la sphère S.

 

 

9-4/ Exercice 4

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i,j,k, on considère les points A0,-2,-2, B1,-2,-4 et C-3,-1,2.

  1. Montrer que ABAC=2i+2j+k et en déduire que 2x+2y+z+6=0 est une équation cartésienne du plan ABC.

On considère la sphère S dont une équation est x2+y2+z2-2x-2z-23=0.

  1. Vérifier que la sphère S a pour centre Ω1,0,1 et pour rayon R=5.
  1. Vérifier que x=1+2ty=2tz=1+t; t est une représentation paramétrique de la droite Δ passant par le point Ω et orthogonale au plan ABC.
  1. Déterminer les coordonnées de H point d’intersection de la droite Δ et du plan ABC.
  1. Vérifier que dΩ,ABC=3, puis montrer que le plan ABC coupe la sphère S selon un cercle de rayon 4, dont on déterminera le centre.

 

 

9-5/ Exercice 5

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i,j,k, on considère le plan P d'équation x+2y-z-1=0.

  1. Les points A(1;1;2) et B(2;1;1) appartiennent-ils au plan P ?
  1. Calculer la distance AB puis les distances de ces deux points A et B au plan P.
  1. Le point A est-il le projeté orthogonal de B sur le plan P ?

 

 

9-6/ Exercice 6

On considère les plans d'équations respectives P x-y+z=0 et Q 2x+3y+z-6=0, et la sphère S de centre Ω1;2;4 et tangente au plan P.

Soit la droite Δ qui passe par Ω et perpendiculaire au plan Q.

  1. Monter que les plans P et Q sont orthogonaux.
  1. Déterminer l’équation cartésienne de la sphère S.
  1. Déterminer le point de tangence de P et S.
  1. Déterminer le point d’intersection de Δ et Q.
  1. Montrer que le plan Q coupe la sphère S suivant une cercle dont on déterminera le centre et le rayon.