Séance 13 - Développement et factorisation

Sommaire

I- Rappel

1-1/ Signe devant une parenthèse

1-2/ Suppression du symbole de multiplication

II- Expression littérale

2-1/ Définition

III- Développement

3-1/ Définition

3-2/ Propriété 1 : Produit d’un nombre par une somme

3-3/ Propriété 2 : Produit d’un nombre par une différence

3-4/ Propriété 3 : Produit de deux sommes et de deux différences (double distributivité)

IV- Factorisation

4-1/ Définition

4-2/ Propriété

V- Les identités remarquables

5-1/ Règle

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

I- Rappel

1-1/ Signe devant une parenthèse

Dans une somme algébrique, les parenthèses précédées du signe + ne changent pas les signes des nombres situés dans la parenthèse.

En revanche, celles précédées du signe – changent les signes.

Exemple

I- Rappel

1-2/ Suppression du symbole de multiplication

Afin d’alléger les écritures, on peut ne pas écrire le signe  dans les calculs lorsqu'il est suivi d'une lettre ou d'une parenthèse.

Par exemple :

• «$3\times \left(5+6\right)$» devient «$3\left(5+6\right)$»
• «$\left(1+2\right)\times \left(3+4\right)$» devient «$\left(1+2\right)\left(3+4\right)$»
• «$5\times a$» devient «$5a$»
• «$a\times b$» devient «$ab$»

Exemple

II- Expression littérale

2-1/ Définition

Une expression littérale contient des nombres et des lettres représentant des variables.

Exemples

1. «$B=5x^2+3x+\left(4x-2\right)-\left(x^2+1\right)$» est une expression littérale.

$x^2=x\times x$

«$x$» représente un nombre quelconque. C’est une variable, ou une inconnue.

2. «$C=5x^2+3y+\left(4x-2\right)-\left(y+1\right)$» est une expression littérale ayant 2 variables $x$ et $y$.

Chaque lettre représente un nombre.

Si une même lettre figure plusieurs fois dans la même expression, elle y représente le même nombre.

III- Développement

3-1/ Définition

Le développement c’est l’écriture d’un produit en une somme ou en une différence.

Exemple

III- Développement

3-2/ Propriété 1 : Produit d’un nombre par une somme

Soient $a$, $b$ et $k$ des nombres relatifs.

Exemple

III- Développement

3-3/ Propriété 2 : Produit d’un nombre par une différence

Soient $a$, $b$ et $k$ des nombres relatifs.

Exemple

III- Développement

3-4/ Propriété 3 : Produit de deux sommes et de deux différences (double distributivité)

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres relatifs.

Exemple

IV- Factorisation

4-1/ Définition

La factorisation est l’écriture d’une somme ou d’une différence en un produit.

Exemple

IV- Factorisation

4-2/ Propriété

Soient $a$, $b$ et $k$ des nombres relatifs.

Exemple

V- Les identités remarquables

5-1/ Règle

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs.

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ {\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2 \\ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 \end{gathered}$$

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Développer et réduire les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=2\left(1-x\right)= \\ B=6x\left(2x+5\right)= \\ C=-4x\left(x^2-3x+1\right)= \\ D=-3\left(5x-4\right)-2\left(x+2\right)= \\ E=-5x\left(-x-1\right)-2x\left(x+4\right)= \\ F=\left(6x+3\right)\left(2x+3\right)= \\ G=\left(3x-4\right)\left(4x-7\right)= \\ H=6x^2\left(1-x^2+x\right)-7x\left(3x-2\right)+5x-8= \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Factoriser chacune des expressions littérales suivantes :

$$\begin{gathered} A=20x-4= \\ B=-5x^2+11x= \\ C=-7x^2+21x^3-14x= \\ D=6x^4-12x^3+15x^2= \\ E=15x^6-5x^4+20x^2= \\ F=-7\left(x+1\right)-4x\left(x+1\right)= \\ G=\left(x+3\right)\left(2x+3\right)-7\left(2x+3\right)= \\ H=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)-\left(3x-4\right)\left(x-2\right)= \\ I=3x\left(5x-7\right)-\left(5x+7\right)\left(5x-7\right)+\left(2x+1\right)\left(5x-7\right)= \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A={\left(2x+9\right)}^2 \\ B={\left(4x-8\right)}^2 \\ C=\left(6x-5\right)\left(6x+5\right) \\ D={\left(10x-5\right)}^2-{\left(7x+7\right)}^2 \\ E={\left(3x-4\right)}^2+\left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ F=\left(7x-8\right)\left(7x+8\right)+{\left(6x+4\right)}^2 \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Factoriser chacune des expressions littérales suivantes :

$$\begin{gathered} A=16x^2-8x+1 \\ B=9x^2-42x+49 \\ C=16-25x^2 \\ D=25x^2-20x+4 \\ E=49x^2+84x+36 \\ F={\left(-6x+3\right)}^2-16 \end{gathered}$$

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

On pose :

$$\begin{gathered} A={\left(3x-1\right)}^2 \\ B={\left(2x+4\right)}^2 \\ C=\left(3x-1\right)\left(2x+4\right) \end{gathered}$$

1. Développer et simplifier : $A$ et $B$ et $C$.

2. Factoriser : $A-B$

3. Factoriser : $A+2C+B$