Math 1Bac S.Exp - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (7,5 pts)

Soit $ABC$ un triangle et $I$ un point tel que $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

1. Vérifier que $I=bar\left\{\left(C,3\right);\left(A,1\right)\right\}$.

Soit $G=bar\left\{\left(A,1\right);\left(B,1\right);\left(C,3\right)\right\}$

2. Montrer que les points $B$, $G$ et $I$ sont alignés

Soit $J=bar\left\{\left(C,3\right);\left(B,1\right)\right\}$.

3. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AJ}$

4. En déduire l’ensemble des points $M$ du plan tels que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}||=2$.

II- Exercice 2 (12,5 pts)

Soient $A\left(-2;1\right)$, $B\left(0;-2\right)$ et $C\left(1;3\right)$ des points dans le plan $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ orthonormé direct.

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ et $det\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)$.

2. Déduire la nature du triangle $ABC$.

3. Calculer $\cos \left(\overline{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}\right)$ et $\sin \left(\overline{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}\right)$, puis en déduire $\left(\overline{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}\right)$.

4. Déterminer l’équation de la droite $\left(AB\right)$ et en déduire $d\left(C,\left(AB\right)\right)$.

5. Déterminer l’équation cartésienne du cercle $\left(C\right)$ de diamètre $\left[AB\right]$.

On considère le cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ d’équation $\left(\mathcal{C}\right) : x^2+y^2-2x-4y-3=0$.

6. Montrer que $\Omega \left(1;2\right)$ est le centre du cercle $\left(\mathcal{C}\right)$, et de rayon $R=2\sqrt{2}$.

7. Déterminer une représentation paramétrique du cercle $\left(\mathcal{C}\right)$.

8. Vérifier que le point $A\left(-1;0\right)$ appartient au cercle $\left(\mathcal{C}\right)$.