Séance 4 - Le produit scalaire dans le plan

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 4 (Le produit scalaire dans le plan)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Rappels

1-1/ Produit scalaire

1-2/ Base et repère (orthonormé direct)

II- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$ et $||\vec{u}||$

III- Formules trigonométriques

3-1/ Formules de $\sin (\vec{u}, \vec{v})$ et $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

3-2/ Surface d’un triangle et d’un parallélogramme

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-1/ Vecteur normal

4-2/ Ensemble des points $M$ tel que $\vec{n} . \vec{A M} = 0$

4-3/ Équation cartésienne de la droite $D (A, \vec{n})$

4-4/ Orthogonalité de deux droites

4-5/ Distance d’un point à une droite

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-1/ Équation cartésienne du cercle $C (Ω (a, b); r)$

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre $[A B]$

5-3/ Présentation paramétrique d’un cercle

5-4/ Étude l’ensemble des points $\{M (x, y) / x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0\}$

5-5/ Étude les positions relatives d’un cercle et d’une droite

5-6 Équation cartésienne d’une droite tangente à un cercle

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Rappels

1-1/ Produit scalaire

Définition

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tel que $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ .

le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté $\vec{u} . \vec{v}$ tel que :

Si $\vec{v} = \vec{0}$ ou $\vec{u} = \vec{0}$ alors $\vec{u} . \vec{v} = 0$ .

Si $\vec{v} \neq \vec{0}$ et $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $H$ la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(A B)$ ( $A \neq B$ car $\vec{u} \neq \vec{0}$ ), alors :

$\vec{u} . \vec{v} = \vec{A B} . \vec{A C} = A B \times A H$ si $\vec{A B}$ et $\vec{A H}$ ont même sens (Cas n°1).
$\vec{u} . \vec{v} = \vec{A B} . \vec{A C} = - A B \times A H$ si $\vec{A B}$ et $\vec{A H}$ ont les sens opposés (Cas n°2).

$\vec{u} . \vec{u} = {\vec{u}}^{2} = {\vec{A B}}^{2}$ est appelé le carré scalaire de $\vec{u} = \vec{A B}$ .

Le nombre réel positif $\sqrt{\vec{u} . \vec{u}}$ est appelé la norme du vecteur $\vec{u} = \vec{A B}$ , on le note $||\vec{u}||$ ou $||\vec{A B}|| = A B$ ( ${\vec{u}}^{2} = ||{\vec{u}}^{2}||$ ).

Propriétés

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs du plan tel que $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ et $α \in ℝ$ .

1- La forme trigonométrique du produit scalaire tel que $\bar{(\vec{u} . \vec{v})} = \bar{(\vec{A B} . \vec{A C})} \equiv α (2 π)$ est : $\vec{A B} . \vec{A C} = A B \times A C \times \cos α$ ou encore $\vec{u} . \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos α$ .

2- Symétrie du produit scalaire : $\vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$

3. Linéarité du produit scalaire :

$(\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w} = \vec{u} . \vec{w} + \vec{v} . \vec{w} \vec{w} . (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{w} . \vec{u} + \vec{w} . \vec{v} (α \vec{u}) . \vec{v} = \vec{u} . (α \vec{v}) = α \times (\vec{u} . \vec{v})$

4- Positivité du produit scalaire : ${\vec{u}}^{2} \geq 0$

5- Produit scalaire est non dégénéré : $\vec{u} . \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$

6- Orthogonalité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

1-2/ Base et repère (orthonormé direct)

$\vec{i}$ et $\vec{j}$ deux vecteurs non colinéaires du plan $(P)$ .

Le couple $B = (\vec{i}, \vec{j})$ s’appelle base du plan, on dit que le plan $(P)$ est rapporté à la base $B = (\vec{i}, \vec{j})$ .

O est un point de $(P)$ et $B = (\vec{i}, \vec{j})$ est une base de $(P)$ .

Le triplet $R = (O, \vec{i}, \vec{j})$ s’appelle repère de $(P)$ , on dit que le plan est rapporté au repère $R = (O, \vec{i}, \vec{j})$ ou encore le plan $(P)$ est muni du repère $R = (O, \vec{i}, \vec{j})$ ).

$B = (\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée si et seulement si $\vec{i} . \vec{j} = 0$ et $||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1$ , dans ce cas le repère $R = (O, \vec{i}, \vec{j})$ est appelé repère orthonormé.

$B = (\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée directe si et seulement si $B = (\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée et $\bar{(\vec{i} . \vec{j})} \equiv \frac{π}{2} (2 π)$ , dans ce cas le repère $R = (O, \vec{i}, \vec{j})$ est appelé repère orthonormé direct.

II- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$ et $||\vec{u}||$

Propriété

$\vec{u} (x, y) = x \vec{i} + y \vec{j}$ et $\vec{v} (x', y') = x' \vec{i} + y' \vec{j}$ deux vecteurs du plan $(P)$ .

On a :

$\vec{u} . \vec{v} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) . (\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}) = x x' + y y' ||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow x x' + y y' = 0$

Exemple

III- Formules trigonométriques

3-1/ Formules de $\sin (\vec{u}, \vec{v})$ et $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

$\vec{u} (x, y) = x \vec{i} + y \vec{j}$ et $\vec{v} (x', y') = x' \vec{i} + y' \vec{j}$ deux vecteurs du plan $(P)$ avec $\bar{(\vec{u} . \vec{v})} \equiv α (2 π)$ .

On a :

$\cos α = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{||\vec{u}|| . ||\vec{v}||} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}} \sin α = \frac{d e t (\vec{u} . \vec{v})}{||\vec{u}|| . ||\vec{v}||} = \frac{x y' - y x'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}}$

3-2/ Surface d’un triangle et d’un parallélogramme

$A B C D$ est un parallélogramme dans le plan $(P)$ .

La surface $S_{A B C}$ du tringle $A B C$ est : $S_{A B C} = \frac{1}{2} |d e t (\vec{A B}, \vec{A C})|$ .

La surface $S_{A B C D}$ du parallélogramme $A B C D$ est : $S_{A B C D} = |d e t (\vec{A B}, \vec{A C})|$ .

Démonstration

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-1/ Vecteur normal

Définition

$D (A, \vec{u})$ est une droite dans le plan $(P)$ .

Tout vecteur $\vec{n}$ non nul orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $D (A, \vec{u})$ s’appelle vecteur normal à la droite $D (A, \vec{u})$ .

Remarques

Les vecteurs $α \vec{n} (α \neq 0)$ sont normaux à la droite $D (A, \vec{u})$ .

$\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont normaux à la droite $D (A, \vec{u})$ , donc $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires .

$\vec{n} (a, b)$ normal à la droite $(D)$ équivaut à $\vec{u} (- b, a)$ est un vecteur directeur à la droite $(D)$ .

4-2/ Ensemble des points $M$ tel que $\vec{n} . \vec{A M} = 0$

L’ensemble des points $M (x, y)$ de $(P)$ tel que $\vec{n} . \vec{A M} = 0$ est la droite $D (A, \vec{n})$ passant par $A$ dont le vecteur normal est $\vec{n}$ .

Exemple

4-3/ Équation cartésienne de la droite $D (A, \vec{n})$

$M (x, y)$ est un point de $(P)$ appartient à la droite $D (A (x_{A}, v); \vec{n} (a, b))$ si et seulement si $a x + b y + c = 0$ et $(a, b) \neq (0, 0)$ et $c = - a x_{A} - b y_{A}$

$a x + b y + c = 0$ s’appelle l’équation cartésienne de la droite $D (A; \vec{n})$ .

Exemple

4-4/ Orthogonalité de deux droites

On considère les droites $(D)$ et $(D')$ d’équations cartésiennes $(D) : a x + b y + c = 0$ et $(D') : a' x + b' y + c' = 0$ tel que $\vec{n} (a, b)$ et $\vec{n'} (a', b')$ sont les vecteurs normaux respectivement à $(D)$ et $(D')$ .

On a :

$(D') ⊥ (D) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) . (\begin{matrix} a' \\ b' \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow a a' + b b' = 0$

Exemple

4-5/ Distance d’un point à une droite

$D (A, \vec{u})$ est une droite dans le plan $(P)$ .

$A$ est un point de $(P)$ et $H$ sa projection orthogonale sur $(D)$ .

La distance $A H$ est appelée la distance de $A$ à $(D)$ .

On note : $d (A, (D)) = d = A H$ .

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-1/ Équation cartésienne du cercle $C (Ω (a, b); r)$

Tout cercle $C (Ω (a, b); r)$ du plan $(P)$ a pour équation cartésienne de la forme ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ou encore $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ avec $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Exemple

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre $[A B]$

L'équation cartésienne du cercle de diamètre $[A B]$ est : $M (x, y) \in C [A; B] \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0$

Exemple

5-3/ Présentation paramétrique d’un cercle

$C (Ω (a, b); r)$ est un cercle du plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\bar{(\vec{i}, \vec{Ω M})} \equiv θ (2 π)$ .

Pour tout $M (x, y)$ du plan $(P)$ , on a : $\{\begin{cases} x = a + R \cos θ \\ y = b + R \sin θ \end{cases}$ .

On l’appelle présentation paramétrique d’un cercle $C (Ω (a, b); r)$ .

Exemple

5-4/ Étude l’ensemble des points $\{M (x, y) / x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0\}$

L’ensemble des points $M (x, y)$ du plan $(P)$ qui vérifie $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ est :

Si $Δ = a^{2} + b^{2} - 4 c < 0$ , on a $S = \emptyset$ .

Si $Δ = a^{2} + b^{2} - 4 c = 0$ , on a $S = \{Ω (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2})\}$ (un point et un seul).

Si $Δ = a^{2} + b^{2} - 4 c > 0$ , on a $S = (C) = C (Ω (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}); r = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 4 c}}{2})$ (un cercle).

Exemple

5-5/ Étude les positions relatives d’un cercle et d’une droite

$(D)$ est une droite du plan $(P)$ et $(C)$ est un cercle du plan $(P)$ de centre $Ω$ et de rayon $r$ .

$(D)$ est à l’extérieure du cercle $(C)$ si et seulement si $d (Ω, (D)) > r$ , dans ce cas $(D) \cap (C) = \emptyset$ .

$(D)$ coupe le cercle $(C)$ si et seulement si $d (Ω, (D)) < r$ , dans ce cas $(D) \cap (C) = \{A, B\}$ .

$(D)$ est tangente au cercle $(C)$ si et seulement si $d (Ω, (D)) = r$ , dans ce cas $(D) \cap (C) = \{A\}$ .

5-6/ Équation cartésienne d’une droite tangente à un cercle

L’équation cartésienne de la droite $(D)$ tangente au cercle $C (Ω, r)$ en un point $A (x_{A}, y_{A})$ de $C (Ω, r)$ est $\vec{A M} . \vec{A Ω} = 0$ ou encore $(\begin{matrix} x - x_{A} \\ y - y_{A} \end{matrix}) . (\begin{matrix} x_{Ω} - x_{A} \\ y_{Ω} - y_{A} \end{matrix}) = 0$ .

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soient $A (3; 3)$ , $B (1; 1)$ et $C (1; 3)$ trois points dans le plan.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .

Calculer $\cos (\hat{\vec{A B}; \vec{A C}})$ et $\sin (\hat{\vec{A B}; \vec{A C}})$ .

En déduire $(\hat{\vec{u}; \vec{v}})$ la mesure de l'angle orienté $(\hat{\vec{A B}; \vec{A C}})$ .

Calculer l’aire du triangle $A B C$ .

6-2/ Exercice 2

Soient $A (1; 2)$ , $B (3; 4)$ et $C (0; 3)$ trois points dans le plan.

Déterminer l’équation de la droite $(D)$ médiatrice de $[A B]$ .

Déterminer l’équation de $(Δ)$ la hauteur du triangle $A B C$ qui passe par $A$ .

Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur $\vec{n}$ normale dans chaque cas :

3-1/ $A (2; 3)$ et $\vec{n} (3; 1)$ .
3-2/ $A (- 2; 1)$ et $\vec{n} (2; 0)$ .

6-3/ Exercice 3

Déterminer l’équation cartésienne de cercle $(C)$ de diamètre $[A B]$ avec $A (- 1; 1)$ et $B (1; 3)$ par deux méthode différentes.

Déterminer l’équation cartésienne de cercle $(C)$ de centre $Ω (1; 3)$ et de rayon $R = 3$ .

6-4/ Exercice 4

Déterminer dans chaque cas la nature de l’ensemble $E$ des points $M (x; y)$ vérifiant :

$1 (E) : x^{2} + y^{2} - 9 = 0 2 (E) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 6 = 0 3 (E) : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 7 = 0 4 (E) : x^{2} + y^{2} + 6 y + 5 = 0$

Donner la représentation paramétrique de cercle $(C)$ de centre $Ω$ et de rayon $R$ dans chaque cas :

$1 Ω (2; - 1) e t R = 2 2 Ω (0; 2) e t R = \sqrt{3}$

6-5/ Exercice 5

Étudier la position relative du cercle $(C)$ et de la droite $(D)$ dans chaque cas :

$1 \{\begin{cases} (C) : x^{2} + y^{2} + 4 x - 1 = 0 \\ (D) : x - y - 3 = 0 \end{cases} 2 \{\begin{cases} (C) : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0 \\ (D) : 2 x + y + 4 = 0 \end{cases} 3 \{\begin{cases} (C) : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 1 = 0 \\ (D) : x - y + 3 = 0 \end{cases}$

6-6/ Exercice 6

Le plan $(P)$ est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

On considère les points : $A (5; 0)$ , $B (7; 4)$ , $C (3; 3)$ et $D (1; 1)$ .

Déterminer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[A B]$ .

Déterminer les coordonnées du point $J$ milieu du segment $[C D]$ .

Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(Δ)$ médiatrice du $[A B]$ .

Déterminer l’équation cartésienne du cercle $(C)$ de diamètre $[C D]$ de deux façons différentes.

Calculer la distance $d$ entre le point $J$ et la droite $(Δ)$ .

Etudier la position relative de la droite $(Δ)$ et le cercle $(C)$ .

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Séance 4 - Le produit scalaire dans le plan

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 4 (Le produit scalaire dans le plan)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Rappels

1-1/ Produit scalaire

1-2/ Base et repère (orthonormé direct)

II- Expression analytique de u→.v→ et u→

III- Formules trigonométriques

3-1/ Formules de sinu→,v→ et cosu→,v→

3-2/ Surface d’un triangle et d’un parallélogramme

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-1/ Vecteur normal

4-2/ Ensemble des points M tel que n→.AM→=0

4-3/ Équation cartésienne de la droite D(A,n→)

4-4/ Orthogonalité de deux droites

4-5/ Distance d’un point à une droite

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-1/ Équation cartésienne du cercle C(Ω(a,b);r)

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre AB

5-3/ Présentation paramétrique d’un cercle

5-4/ Étude l’ensemble des points M(x,y)/x2+y2+ax+by+c=0

5-5/ Étude les positions relatives d’un cercle et d’une droite

5-6 Équation cartésienne d’une droite tangente à un cercle

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Rappels

1-1/ Produit scalaire

Définition

I- Rappels

1-1/ Produit scalaire

Propriétés

I- Rappels

1-2/ Base et repère (orthonormé direct)

II- Expression analytique de u→.v→ et u→

Propriété

Exemple

III- Formules trigonométriques

3-1/ Formules de sinu→,v→ et cosu→,v→

III- Formules trigonométriques

3-2/ Surface d’un triangle et d’un parallélogramme

Démonstration

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-1/ Vecteur normal

Définition

Remarques

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-2/ Ensemble des points M tel que n→.AM→=0

Exemple

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-3/ Équation cartésienne de la droite D(A,n→)

Exemple

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-4/ Orthogonalité de deux droites

Exemple

IV- Droite dans le plan (Étude analytique)

4-5/ Distance d’un point à une droite

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-1/ Équation cartésienne du cercle C(Ω(a,b);r)

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre AB

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-3/ Présentation paramétrique d’un cercle

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-4/ Étude l’ensemble des points M(x,y)/x2+y2+ax+by+c=0

Exemple

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-5/ Étude les positions relatives d’un cercle et d’une droite

V- Cercle dans le plan (Étude analytique)

5-6/ Équation cartésienne d’une droite tangente à un cercle

II- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$ et $||\vec{u}||$

3-1/ Formules de $\sin (\vec{u}, \vec{v})$ et $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

4-2/ Ensemble des points $M$ tel que $\vec{n} . \vec{A M} = 0$

4-3/ Équation cartésienne de la droite $D (A, \vec{n})$

5-1/ Équation cartésienne du cercle $C (Ω (a, b); r)$

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre $[A B]$

5-4/ Étude l’ensemble des points $\{M (x, y) / x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0\}$

II- Expression analytique de $\vec{u} . \vec{v}$ et $||\vec{u}||$

3-1/ Formules de $\sin (\vec{u}, \vec{v})$ et $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

4-2/ Ensemble des points $M$ tel que $\vec{n} . \vec{A M} = 0$

4-3/ Équation cartésienne de la droite $D (A, \vec{n})$

5-1/ Équation cartésienne du cercle $C (Ω (a, b); r)$

5-2/ Équation cartésienne du cercle de diamètre $[A B]$

5-4/ Étude l’ensemble des points $\{M (x, y) / x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0\}$