Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 2-1-2 : Suites numériques - Partie 1 (Exercices)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

2-2/ Exercice 1-2

2-3/ Exercice 1-3

2-4/ Exercice 1-4

 


 

2-1/ Exercice 1-1

Soit (Un)n1 la suite définie par : Un=k=1k=n1n2+k

  1. Montrer que n* nn2+nUnnn2+1.
  1. En déduire que (Un)n1 est bornée.

 

 

2-2/ Exercice 1-2

On considère la suite Unn définie par : U0=-1, U1=12 et Un+2=Un+1-14Un.

On pose Vn=Un+1-12Un et Wn=2nUn.

  1. Montrer que Vnn est une suite géométrique puis calculer Vn en fonction de n.
  1. Montrer que Wnn est une suite arithmétique puis calculer Wn en fonction de n.
  1. En déduire que n Un=2n-12n.

On pose Sn=k=0k=nUk.

  1. Prouver que n Sn=2-2n+32n.

 

 

2-3/ Exercice 1-3

Soit Unn la suite telle que U0=2 et Un+1=12+12Un2-Un+12.

On pose Vn=Un2-Un pour tout n.

  1. Montrer que n Un1
  1. Montrer que Vnn est une suite géométrique.
  1. En déduire que n Un=12+121+82n.
  1. Démontrer que n  0<Un-112n-1.

 

 

2-4/ Exercice 1-4

Unn est une suite réelle telle que U0=1 et Un+1=6Un1+15Un

  1. Montrer que n Un>13.
  1. Étudier la monotonie de Unn, et en déduire que n Un1
  1. Montrer que n Un+1-1316Un-13
  1. En déduire que n Un-132316n

On pose Vn=1-13Un pour tout entier naturel n.

  1. Montrer que Vnn est une suite géométrique de raison 16.
  1. Calculer Vn puis Un en fonction de n.

On pose Sn=k=0k=nVk et Tn=k=0k=n1Uk

  1. Déterminer Sn en fonction de n.
  1. En déduire que Tn=3n+35+12516n+1