• 1

    التمرين 1.

    (1 حدد من بين الأعداد التالية تلك التي تقبل القسمة على 5 وعلى 9 في آن واحد:

    11727 ، 413450 ، 531252 ، 29340 ، 345 ، 9405

    (2 حدد الأعداد الصحيحة الطبيعية المحصورة بين 301 و 389 والتي تقبل القسمة على 5 و 3 في آن واحد.

    (3 بين أن العدد 281520 يقبل القسمة على 2 و 4 و 5 و 3 و 9 في آن واحد

    تذكر أن: a عدد صحيح طبيعي

    • العدد a يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
    • العدد a يقبل القسمة على 5 إذا كان رقم وحداته يساوي 5 أو 0
    • العدد a يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9

     

    (1 لدينا الأعداد التالية: 9405 و 345 و 29340 و 531252 و 413450 و 11727

    حسب التذكير السابق يكون لدينا: الأعداد التي تقبل القسمة على 5، من بين هذه الأعداد هي: 9405 و 345 و 29340 و 413450

    وبما أن:

    • العدد 9405 يقبل القسمة على 9 ، لأن مجموع أرقامه هو 18
    • العدد 345 لا يقبل القسمة على 9 ، لأن مجموع أرقامه هو 12
    • العدد 29340 يقبل القسمة على 9 ، لأن مجموع أرقامه هو 18
    • العدد 413450 لا يقبل القسمة على 9 ، لأن مجموع أرقامه هو 17

    فإن الأعداد التي تقبل القسمة على 5 و 9 في آن واحد هي: 9405 و 29340

     

    (2 الأعداد المحصورة بين 301 و 389 والتي تقبل القسمة على 5 هي:

    325 - 320 - 315 - 310 - 305355 - 350 - 345 - 340 - 335 - 330 385 - 380 - 375 - 370 - 365 - 360

    نحدد من بين هذه الأعداد تلك التي مجموع أرقامها يقبل القسمة 3 وهي: 375 - 360 - 345 - 330 - 315

    إذن الأعداد المحصورة بين 301 و 389 والتي تقبل القسمة على 5 و 3 في آن واحد هي: 375 - 360 - 345 - 330 - 315

     

    (3 تذكير: a عدد صحيح طبيعي

    إذا كان رقم وحداته ورقم عشراته يكونان في هذا الترتيب عددا يقبل القسمة على 4 فإن العدد a يقبل القسمة على 4

    • العدد 281520 يقبل القسمة على 5 وعلى 2 لأن رقم وحداته هو 0
    • العدد 281520 يقبل القسمة على 4 لأن العدد المكون من رقم وحداته ورقم عشراته في هذا الترتيب هو 20 والعدد 20 يقبل القسمة 4
    • العدد 281520 يقبل القسمة على 3 و 9 لأن مجموع أرقامه هو 18 والعدد 18 يقبل القسمة على 9 وعلى 3

    إذن العدد 281520 يقبل القسمة في آن واحد على الأعداد 2 و 4 و 5 و 3 و 9

  • 2

    التمرين 2.

    (1 بين أن مجموع ثلاث أعداد صحيحة طبيعية متتابعة هو مضاعف للعدد 3

    (2 بين أن مجموع عددين صحيحين طبيعيين فرديين متتابعيين هو مضاعف للعدد 4

    (1 ليكن k عنصرا من IN

    لدينا k و k+1 و k+2 ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتابعة

    ولدينا k+k+1+k+2=3k+3=3k+1

    وبما أن k+1 عدد صحيح طبيعي فإن 3 (k+1) مضاعف للعدد 3

    يعني أن k+k+1+k+2 مضاعف للعدد 3

     

    (2 ليكن p عنصرا من IN

    لدينا 2p+1 و 2p+3 عددان صحيحان طبيعيان فرديان متتابعان

    ولدينا: 2p+1+2p+3=4p+4=4p+1

    وبما أن p+1 عدد صحيح طبيعي فإن 4p+1 مضاعف للعدد 4

    يعني أن 2p+1+2p+3 مضاعف للعدد 4

    إذن مجموع عددين صحيحين طبيعيين فرديين متتابعين هو مضاعف للعدد 4

  • 3

    التمرين 3.

    ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث n4 و n-4 مضاعف للعدد 5

    بين أن n2-1 مضاعف للعدد 5

    ليكن n عنصرا من IN بحيث n4 و n-4 مضاعف للعدد 5

    لدينا: n-4=5p حيث p عدد صحيح طبيعي

    يعني أن n=5p+4 مع pIN

    ومنه فإن

    n2-1=5p+42-1          =25p2+40p+15          =55 p2+8p+3

    وبما أن 5p2+8p+3 عدد صحيح طبيعي فإن العدد 55p2+8p+3 مضاعف للعدد 5

    إذن العدد n2-1 مضاعف للعدد 5

  • 4

    التمرين 4.

    ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين بحيث: a+b2 عدد زوجي

    بين أن a2+b2 عدد زوجي

    a و b عددان صحيحان طبيعيان بحيث a+b2 عدد زوجي

    ومنه يوجد عنصر k من IN بحيث: a+b2=2k

    وبما أن: a+b2=a2+b2+2ab

    فإن: a2+b2=a+b2-2ab

    إذن: a2+b2=2k-2ab=2k-ab

    ولدينا a2+b20 ومنه فإن k-ab0

    يعني أن العدد k'=k-ab ينتمي الى IN

    إذن: a2+b2=2k'

    وهذا يعني أن: a2+b2 عدد زوجي

  • 5

    التمرين 5.

    ليكن n عددا صحيحا طبيعيا

    (1 بين أن العدد nn+1 مضاعف للعدد 2

    (2 بين أن العدد nn+1n+2 مضاعف للعدد 3

    (3 بين أن n2+3n عدد زوجي

    ليكن n عنصرا من IN

    (1 لنبين أن nn+1 عدد زوجي

    * إذا كان n عددا زوجيا فإن n=2p حيث p تنتمي الى IN

    ومنه فإن: nn+1=2p2p+1

    وبما أن p2p+1 عدد صحيح طبيعي فإن: 2p2p+1 عدد زوجي

    يعني أن nn+1 عدد زوجي

    * إذا كان n عددا فرديا فإن: n=2p+1 حيث: p تنتمي الى IN

    ومنه فإن: nn+1=2p+12p+2=22p+1p+1

    وبما أن 2p+1p+1 عدد صحيح طبيعي فإن: 2 2p+1p+1 عدد زوجي، يعني أن nn+1 عدد زوجي

    وبالتالي مهما يكن n عنصرا من IN لدينا nn+1 عدد زوجي

     

    (2 بإنجاز القسمة الإقليدية للعدد n على 3 يكون باقي هذه القسمة هو: 0 أو 1 أو 2

    ومنه يجب فصل ثلاثة حالات، وفي كل حالة يجب أن نبين أن النتيجة المطلوبة صحيحة

    هذا النوع من الاستدلال يسمى الاستدلال بفصل الحالات

    الحالة الأولى:

    الباقي هو 0 يعني أن العدد n مضاعف للعدد 3، ومنه يوجد k من IN بحيث: n=3k

    إذن: nn+1n+2=3k3k+13k+2

    وبما أن: k'=k3 k+13 k+2 ينتمي الى IN و nn+1n+2=3k'

    فإن: nn+1n+2 مضاعف للعدد 3

    الحالة الثانية:

    الباقي هو 1، يعني أنه يوجد k من IN بحيث n=3 k+1

    إذن:

    nn+1n+2=3k+13k+23k+3                            =33k+13k+2k+1

    وبما أن: k'=3 k+13 k+2k+1 ينتمي الى IN و nn+1n+2=3k'

    فإن العدد nn+1n+2 مضاعف للعدد 3

    الحالة الثالثة:

    الباقي هو 2 يعني أنه يوجد k من IN بحيث: n=3 k+2

    إذن:

    nn+1n+2=3k+23k+33k+4                            =33k+2k+13k+4

    وبما أن: k'=3 k+2 k+13k+4 ينتمي الى IN و nn+1n+2=3k'

    فإن العدد nn+1n+2 مضاعف للعدد 3

    وبالتالي مهما يكن n عنصرا من IN لدينا العدد nn+1n+2 مضاعف للعدد 3

     

    (3 لدينا: n2+3n=n2+n+2n=nn+1+2n

    وبما أن: nn+1 عدد زوجي، أي أن: nn+1=2p حيث p تنتمي الى IN

    فإن: n2+3n=2p+2n=2p+n

    ومنه فإن k=p+n ينتمي الى IN و n2+3n=2k يعني أن: n2+3n مضاعف للعدد 2

    أي أن n2+3n عدد زوجي

  • 6

    التمرين 6.

    ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث: n4

    (1 بين أن العدد n2+5n+4 زوجي

    (2 بين أن العدد n2-5n+4 زوجي

    (3 أستنتج أن العدد 4 يقسم العدد n4-17n2+16

    ليكن n عنصرا من IN

    (1 لدينا: 

    n2+5n+4=n2+n+4n+4                  =nn+1+4n+1

    وبما أن: nn+1 عدد زوجي (حسب التمرين 5)

    أي nn+1=2k حيث k عنصر من IN

    فإن: n2+5n+4=2k+4n+1=2k+2n+2

    إذن: k'=k+2n+2 ينتمي الى IN و n2+5n+4=2k'

    يعني أن: n2+5n+4 عدد زوجي

     

    (2 لدينا: 

    n2-5n+4=n2-n-4n+4                   =n(n-1)-4n-1                   =n-4n-1

    وبما أن n4 فإن العدد n2-5n+4 ينتمي الى IN

    ولدينا n2+5n+4-n2-5n+4=10n

    وبما أن n2-5n+40 (لأن n4 ) فإن: n2+5n+410n

    ولدينا: n2+5n+4 و 10n عددان زوجيان

    ومنه فإن: n2+5n+4=2k و 10n=2k'

    حيث: k و k' من IN

    ولدينا: n2+5n+410n ومنه فإن kk'

    أي إن: k-k' ينتمي الى IN

    إذن: n2-5n+4=2k-k' حيث: k-k' عنصر من IN

    يعني أن: n2-5n+4 عدد زوجي

     

    (3 لدينا

    n4-17n2+16=n4-n2-16n2+16                        =n2n2-1-16n2-1                        =n2-1n2-16                        =n-1n-4n+1)n+4                        =n2-5n+4n2+5n+4

    وبما أن: n2-5n+4 عدد زوجي و n2+5n+4 عدد زوجي

    فإنه يوجد p و q من IN بحيث: n2-5n+4=2p و n2+5n+4=2q

    إذن: n2-5n+4n2+5n+4=4qp

    أي أن: n2-17n2+16=4qp

    وبما أن qp ينتمي الى IN فإن n4-17n2+16 مضاعف للعدد 4

    يعني أن 4 يقسم العدد n4-17n+16

  • 7

    التمرين 7.

    حدد الأعداد الصحيحة الطبيعية n التي تحقق: n-2 يقسم n+5 و n>2

    ليكن n عنصرا من IN و n>2

    لدينا n-2 يقسم n+5 يعني يوجد q من IN

    بحيث: n+5=qn-2

    n+5=qn-2 يكافئ n+5n-2=q

    يكافئ n+5n-2 ينتمي الى IN

    يكافئ n-2+7n-2 ينتمي الى IN

    يكافئ 1+7n-2 ينتمي الى IN

    ومنه n-2 يقسم n+5 يكافئ n-2 يقسم 7

    ولدينا قواسم العدد 7 هما 1 و 7

    إذن n-2 يقسم n+5 يكافئ n-2=1 أو n-2=7

    يكافئ n=3 أو n=9

    وبالتالي فإن الأعداد n من IN التي تحقق n-2 يقسم n+5 هي 3 و 9

  • 8

    التمرين 8.

    (1 حدد القواسم المشتركة للعددين 36 و 54

    (2 حدد القاسم المشترك الأكبر للعددين 36 و 54

    (1 لدينا 36=4×9=22×32

    ومنه فإن قواسم العدد 36 هي الأعداد التالية: 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 9 و 12 و 18 و 36

    ونكتب: D36=1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

    لدينا 54=2×27=2×33

    ومنه فإن قواسم العدد 54 هي الأعداد التالية: 1 و 2 و 3 و 6 و 9 و 18 و 27 و 54

    ونكتب: D54=1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

    وبالتالي فإن القواسم المشتركة للعددين 36 و 54 هي الأعداد التالية: 1 و 2 و 3 و 6 و 9 و 18

    ونكتب: D36D54=1, 2, 3, 6, 9, 18

     

    (2 في المجموعة D36D54 أعلاه يوجد عنصر أكبر من أن يساوي كل العناصر الأخرى، هذا العنصر هو 18

    إذن القاسم المشترك الأكبر للعددين 36 و 54 هو 18.

    ونكتب: PGCD36; 54=18

  • 9

    التمرين 9.

    (1 فكك كلا من العددين 675 و 1800 الى جداء عوامل أولية

    (2 استنتج تبسيطا لكل من الأعداد التالية: 675 و 1800×675 و 1800675

    (1 لدينا:

    1800=18×102         =2×33×52×22

    ومنه فإن 1800=23×32×52 هو التفكيك الى جداء عوامل أولية للعدد 1800

    ولدينا:

    67532253  753  255    55    1

    ومنه فإن: 675=33×52 هو التفكيك الى جداء عوامل أولية للعدد 675

     

    (2 لدينا:

    1800×675=23×32×52×33×52                   =22×34×54×2×3

    ومنه فإن:

    1800×675=22×34×54×2×3                      =2×32×52×6=4506

    ولدينا

    675=32×52×3          =3×53=153

    ولدينا 1800675=23×32×5233×52=233=83