المثلث القائم الزاوية والدائرة - تمارين محلولة

نبين أن $OF=OH$

لدينا $EFG$ مثلث قائم الزاوية في $F$ و $O$ منتصف $\left[EG\right]$

إذن $OF=OE=OG$

أي $\left(1\right) \boxed{OF=\frac{1}{2}EG}$

لدينا كذلك $EHG$ مثلث قائم الزاوية في $H$ و $O$ منتصف $\left[EG\right]$

إذن $OH=OE=OG$

أي $\boxed{\left(2\right) OH=\frac{1}{2}EG}$

من $\left(1\right)$ و $\left(2\right)$ لنستنتج أن $\boxed{OH=OF}$

الشكل

نبين أن $\left[CH\right]$ ارتفاع للمثلث $ABC$

لدينا $B$ و $H$ نقطتان من الدائرة $\left(\mathcal{C}\right)$ التي مركزها $O$

إذن $OH=OB$

وبما أن $O$ منتصف $\left[BC\right]$

فإن $OB=OC$

ومنه $OH=OB=OC$

وبالتالي $BHC$ مثلث قائم الزاوية في $H$

أي $\left(HB\right)\perp \left(CH\right)$

وبما أن $H\in \left[AB\right]$ فإن $\left(CH\right)\perp \left(AB\right)$

ومنه $\left[CH\right]$ ارتفاع في المثلث $ABC$

الشكل

نحدد طبيعة المثلث $FF\text{'}G$

لدينا $F\text{'}$ مماثلة $F$ بالنسبة للنقطة $E$

إذن $E$ منتصف $\left[FF\text{'}\right]$

ومنه $\left(1\right) \boxed{EF=EF\text{'}}$

وبما أن $EFG$ مثلث متساوي الساقين في $E$

فإن $\left(2\right) \boxed{EF=EG}$

من $1$ و $2$ نستنتج أن $\boxed{EF=EG=EF\text{'}}$

في المثلث $FF\text{'}G$ لدينا $E$ منتصف $\left[FF\text{'}\right]$ و $EF=EG=EF\text{'}$

إذن $FF\text{'}G$ مثلث قائم الزاوية في $G$