EFG و EGH مثلثان قائما الزاوية على التوالي في F و H
لتكن O منتصف [EG] (انظر الشكل)
بين أن OF=OH
لدينا EFG مثلث قائم الزاوية في F و O منتصف [EG]
إذن OF=OE=OG
أي (1) OF=12EG
لدينا كذلك EHG مثلث قائم الزاوية في H و O منتصف [EG]
إذن OH=OE=OG
أي (2) OH=12EG
من (1) و (2) لنستنتج أن OH=OF
ABC مثلث و O منتصف [BC] الدائرة (C) التي مركزها O والمارة من B تقطع المستقيم (AB) في B و H
أنشئ الشكل
بين أن منتصف [CH] ارتفاع للمثلث ABC
الشكل
لدينا B و H نقطتان من الدائرة (C) التي مركزها O
إذن OH=OB
وبما أن O منتصف [BC]
فإن OB=OC
ومنه OH=OB=OC
وبالتالي BHC مثلث قائم الزاوية في H
أي (HB)⊥(CH)
وبما أن H∈[AB] فإن (CH)⊥(AB)
ومنه [CH] ارتفاع في المثلث ABC
EFG مثلث متساوي الساقين في E
F' مماثلة F بالنسبة للنقطة E
حدد طبيعة المثلث F'FG
لدينا F' مماثلة F بالنسبة للنقطة E
إذن E منتصف FF'
ومنه 1 EF=EF'
وبما أن EFG مثلث متساوي الساقين في E
فإن 2 EF=EG
من 1 و 2 نستنتج أن EF=EG=EF'
في المثلث FF'G لدينا E منتصف FF' و EF=EG=EF'
إذن FF'G مثلث قائم الزاوية في G