Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1 (3 pts)

Calculer les limites suivantes en justifiant les résultats obtenus :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-7x^2-x-11\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-2\right)\left(1-x\right)= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^4+2x+1}{\left(x^2-2\right)\left(2x^2+1\right)}= \end{gathered}$$

II- Exercice 2 (7,5 pts)

Soit $f$ la fonction définie par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=2+\sqrt{x^2-x} si x\ge 1\\ f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2} si x<1\end{array}\right.$

1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $\left(-\infty \right)$ et en $\left(+\infty \right)$. Justifier les résultats.

2. Montrer que $f$ est continue en $1$.

3. Montrer que $f$ n'est pas dérivable à droite de $1$.

4. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]1;+\infty [$.

On considère la restriction $g$ de la fonction $f$ sur $]-\infty ;1[$.

5. Vérifier que $x\in ]-\infty ;1[ ; g\left(x\right)=\frac{x-3}{x-2}$.

6. Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

7. Donner une expression de $g^{-1}\left(x\right)$ en fonction de $x$.

III- Exercice 3 (4 pts)

Soit $f$ une fonction continue sur les intervalles de son domaine de définition $D_f$, dont le tableau de variation est le suivant :

1. Déterminer $D_f$.

2. Déterminer l'intervalle $f\left(I\right)$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} I=]-\infty ;-3] \\ \overline{)2} I=[-3;2[ \\ \overline{)3} I=]2;+\infty [ \end{gathered}$$

3. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$ en précisant les intervalles auxquelles elles appartiennent.

4. En déduire, en fonction de $\alpha$ et $\beta$, le tableau de signe de $f$.

IV- Exercice 4 (3,5 pts)

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=x^3-3x^2+6x-1$

1. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $\alpha$ dans $\mathrm{ℝ}$ et que $0<\alpha <1$.

3. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$. Justifier votre réponse.

V- Exercice 5 (2 pts)

Une entreprise, réalise pour la fabrication et la vente d'une quantité $q$ d'objets, un bénéfice donné par $B\left(q\right)=2\left(20-q\right)\sqrt{q+3}$ avec $1\le q\le 20$.

1. Montrer que le bénéfice marginal est $B\text{'}\left(q\right)=\frac{14-3q}{\sqrt{q+3}}$.

2. Déterminer la quantité d'objets $q_0$ à produire pour que le bénéfice soit maximal.