Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

I- Exercice 1 (3 pts)

 

Calculer les limites suivantes en justifiant les résultats obtenus :

limx+x3-7x2-x-11=limx-x2-21-x=limx+3x4+2x+1x2-22x2+1=

 

II- Exercice 2 (7,5 pts)

 

Soit f la fonction définie par :

fx=2+x2-x  si x1fx=x2-4x+3x2-3x+2  si x<1

  1. Calculer les limites de la fonction f en - et en +. Justifier les résultats.
  1. Montrer que f est continue en 1.
  1. Montrer que f n'est pas dérivable à droite de 1.
  1. Calculer f'x pour tout x]1;+[.

On considère la restriction g de la fonction f sur ]-;1[.

  1. Vérifier que x]-;1[ ; gx=x-3x-2.
  1. Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera.
  1. Donner une expression de g-1x en fonction de x.

 

III- Exercice 3 (4 pts)

 

Soit f une fonction continue sur les intervalles de son domaine de définition Df, dont le tableau de variation est le suivant :

  1. Déterminer Df.
  1. Déterminer l'intervalle fI dans chacun des cas suivants :

1  I=]-;-3]2  I=[-3;2[3  I=]2;+[

  1. Montrer que l’équation f(x)=0 admet deux solutions α et β en précisant les intervalles auxquelles elles appartiennent.
  1. En déduire, en fonction de α et β, le tableau de signe de f.

 

IV- Exercice 4 (3,5 pts)

 

Soit f la fonction définie par : fx=x3-3x2+6x-1

  1. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une seule solution α dans  et que 0<α<1.
  1. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10-1. Justifier votre réponse.

 

V- Exercice 5 (2 pts)

 

Une entreprise, réalise pour la fabrication et la vente d'une quantité q d'objets, un bénéfice donné par Bq=220-qq+3 avec 1q20.

  1. Montrer que le bénéfice marginal est B'q=14-3qq+3.
  1. Déterminer la quantité d'objets q0 à produire pour que le bénéfice soit maximal.