Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 6 (La droite dans le plan)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan

1-2/ Coordonnées d’un point du plan

1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

II- Déterminant de deux vecteurs

III- Condition de colinéarité de deux vecteurs

IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points

V- Vecteur directeur d’une droite

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

6-1/ Représentation paramétrique d’une droite

6-2/ Équation cartésienne d’une droite

6-3/ Étude de l’ensemble des points Mx,y/ax+by+c=0

VII- Droites parallèles dans le plan

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

 


I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

 

1-1/ Base d’un plan – Repère d’un plan

Définition

Soient OI et J trois points non alignés du plan (P),

on pose OI=i et OJ=j

- le triplet (O,i,j) est appelé repère du plan (P)

- le point O est appelé l’origine du repère.

- Le couple (i,j) est appelé une base du plan (P).

- la droite OI s’appelle l’axe des abscisses.

- la droite OJ s’appelle l’axe des ordonnés.

- Si OIOJ, alors le repère (O,i,j) est un repère orthogonal

- Si OIOJ et i=j=1, alors  le repère (O,i,j) est un repère orthonormé .

Exemples

 


I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

 

1-2/ Coordonnées d’un point du plan

Le plan (P) est rapporté au repère (O,i,j).

- Pour tout point M du plan (P), il existe un et un seul couple (x,y)× tel que OM=xi+yj.

Le couple (x,y) est appelé couple des coordonnées du point M.

Le nombre x est appelé abscisse du point M.

Le nombre y est appelé ordonnée du point M.

Ot on écrit   M(x,y) ou Mxy.

- Pour tout vecteur u du plan (P), il existe un seul couple (x,y)× tel que u=xi+yj

Le couple (x,y) est appelé couple des coordonnées du vecteur u.

Le nombre x est appelé abscisse du vecteur u.

Le nombre y est appelé ordonnée du vecteur u.

Ot on écrit   ux,y ou uxy

 


- I- Base d’un plan – Repère d’un plan – Coordonnées d’un point du plan

 

1-3/ Coordonnées de la somme de deux vecteurs – Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

Le plan (P) est rapporté au repère (O,i,j).

uxy et vx'y' sont deux vecteurs de (P).

AxA,yA et BxB,yB et IxI,yI sont des points de (P) et α

On a :

- Le vecteur u+v a pour coordonnées x+x'y+y'. on note u+vx+x',y+y'.

- Le vecteur αu a pour coordonnées αxαy. on note αuαx,αy.

- Le vecteur AB a pour coordonnées xB-xAyB-yA, on note ABxB-xA,yB-yA

IxI,yI est le milieu du segment AB, on a xI=xA+xB2 et yI=yA+yB2.

Exemple

 


II- Déterminant de deux vecteurs

 

Le plan (P) est rapporté au repère (O,i,j).

uxy et vx'y' sont deux vecteurs de (P).

Le nombre xy'-x'y est appelé le déterminant des vecteurs u et v.

On note :

detu,v=xx'yy'=xy'-yx'

Exemple

 


III- Condition de colinéarité de deux vecteurs

 

uxy et vx'y' sont deux vecteurs de (P) rapporté au repère (O,i,j).

u et v sont colinéaires équivaut à detu,v=0 xy'-yx'=0

Exemple

 


IV- Norme d’un vecteur - Distance entre deux points

 

Le plan (P) est rapporté au repère orthonormé (O,i,j).

uxy est un vecteur de (P).

AxA,yA et BxB,yB sont deux points de (P).

On a :

La norme (ou la longueur) du vecteur u est : u=x2+y2

La distance entre A et B est : AB=xB-xA2+yB-yA2

Exemple

 


V- Vecteur directeur d’une droite

 

Définition

Soit D une droite   passant par A et B   

Tout vecteur non nul u et colinéaire avec le vecteur AB est appelé vecteur directeur de la droite D.

et on  note : DA,u ou DB,u ou DA,AB.

Exemple

 


VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

 

6-1/ Représentation paramétrique d’une droite

Définition

Soit DA,u une droite du plan (P) qui est rapporté au repère (O,i,j) tel que AxA,yA et ua,b .

L’écriture x=xA+aty=yA+bt ; t est appelée représentation paramétrique de la droite DA,u.

Exemple

 


VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

 

6-2/ Équation cartésienne d’une droite

Définition

Le plan (P) est rapporté à un repère (O,i,j).

Toute droite DAxA,yA;u du plan (P) a une équation de la forme ax+by+c=0 avec c=xAyu-xuyA et u-b,a vecteur directeur de la droite D.

L’écriture ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite D avec u-b,a vecteur directeur de la droite D.

Exemple

VI- Représentation paramétrique et équation cartésienne d’une droite

 

6-3/ Étude de l’ensemble des points Mx,y/ax+by+c=0 ; a,b0,0

Définition

Le plan (P) est rapporté à un repère (O,i,j).

a,b,c avec a,b0,0.

l’ensemble des points Mx,y de (P) qui vérifient ax+by+c=0 est la droite passant par le point C0,-cb si b0 (ou C'-ca,0 si a0) et qui a u-b,a comme vecteur directeur.

Exemple

 


VII- Droites parallèles dans le plan

 

Propriété

Le plan (P) est rapporté à un repère (O,i,j).

(D) et (D') sont deux droites de (P) tel que D : ax+by+c=0 et D' : a'x+b'y+c'=0.

(D)(D') équivaut à ab'-a'b=0 ou ab=a'b'.

(D) et (D') sont deux droites de (P) tel que D : y=mx+p et D' : y=m'x+p'.

(D)(D') équivaut à m=m'.

Exemple

 


IIX- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

On considère les points suivants : A1;3B-1;2 et C-2;-1.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : ABAC et BC.
  1. Calculer les distances suivantes : ABAC et BC.
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes : 2AB et -3BC.
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivantes 2AB+-3BC et AB+AC.
  1. Déterminer les coordonnées du point I le milieu du segment AB.

Soient u(3x+1;2) et v(4;y-3) deux vecteurs.

  1. Déterminer x et y pour que u=v.

 


IIX- Exercices

 

8-2/ Exercice 2

On considère les points A(3;2) et B(2;-1) et la droite (D) d’équation cartésienne (D):3x-y+6=0.

  1. Montrer que (AB)(D).
  1. Donner une équation cartésienne de la droite (D') passant par A et dirigées par le vecteur u(4;-1).
  1. Montrer que (D) et (D') sont sécantes en E(-1;3).

Soit F(a;0) un point du plan.

  1. Déterminer le nombre a pour que le quadrilatère ABFE soit un parallélogramme.

 


IIX- Exercices

 

8-3/ Exercice 3

Soient u(-1;2)v(-4;1) et w2m-3;2 / m trois vecteurs du plan.

  1. Étudier la colinéarité de u et v.
  1. Déterminer la valeur du nombre m pour que u et w soient colinéaires.
  1. Déterminer la valeur du nombre m pour que v et w soient colinéaires.

On considère les points suivants : A1;-8, B11;7C5;-1 et D7;2.

  1. Montrer que AB et CD sont colinéaires.
  1. Étudier l’alignement des points EF , et G dans les cas suivants :
  • E4;-2F5;1 et G11;3.
  • E-2;3, F0;-1 et G-1;1.

 


IIX- Exercices

 

8-4/ Exercice 4

  1. Étudier la position relative de D et D' dans les cas suivants :

1 D:6x-2y+3=0 et D':2x-13y-1=02 D:x+2y-3=0 et D':-x-2y+4=03 D:5x-3y+2=0 et D':2x-3y-5=04 D:-2x-y+2=0 et D':12x-y-7=0

 


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