Séance 2-4 : Suites numériques - Problème de synthèse

Sommaire

IX- Problème de synthèse

IX- Problème de synthèse

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ une suite réelle.

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ : $S_n=\frac{u_1+u_2+....+u_n}{n}$

On suppose que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

Soient $\epsilon >0$ et $n_0\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tel que pour tout $n\ge n_0$, on a $\left|u_n\right|<\epsilon$.

1. Montrer qu’il existe une constante $M$ telle que pour tout $n\ge n_0$, on a $\left|S_n\right|<\frac{M\left(n_0-1\right)}{n}+\epsilon$.

2. En déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=0$.

On suppose que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on a $u_n={\left(-1\right)}^n$.

3. Que dire de $S_n$ ? Qu'en déduisez-vous ?

On suppose que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$.

4. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\mathcal{l}$.

On suppose que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

5. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty$.