Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 1-4 : Limites et continuité - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 


Sommaire

 

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

9-3/ Partie 3

 


IX- Problème de synthèse

 

9-1/ Partie 1

  1. Montrer que :

x]-π2;π2[ ; 1+sinxcosx=1+tanx21-tanx2

  1. a- Montrer que pour tout a[0;+[ :

Arctana+a+1=π4+12Arctana

  1. b- En déduire que :

tan5π12=2+3

 


IX- Problème de synthèse

 

9-2/ Partie 2

Calculer les limites suivantes :

1 limx0+1-x-23Arctan1x-π22 limx0+Arctan1-x23-π4x3 limx-2-x4-2-x62-x3-2-x4 limx-x2+2x-x+1Arctanx2+2x+x+1

 


IX- Problème de synthèse

 

9-3/ Partie 3

Soit f la fonction définie sur ]-;π2[ par :

fx=1-x3+x-1  si  x<0fx=Arctanx3+tanx  si  x[0;π2[

  1. Montrer que la fonction f est continue en 0.
  1. Calculer les limites suivantes :

limx0+fxx  ;  limx0-fxx  ;  limx-fx  ;  limx-fxx

Soit g la restriction de f à l’intervalle I=[0;π2[.

  1. Montrer que g est strictement croissante sur I.
  1. Montrer que g est une bijection de I sur I.

On note g-1 la fonction réciproque de g.

  1. Résoudre dans I l'équation g-1x=x.
  1. Montrer que xI g-1xx.

 


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