Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 2-3-1 : Suites numériques - Partie 3 (Cours)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 


Sommaire

 

VI- suites de la forme un+1=fun et vn=fun

6-1/ Suite de la forme un+1=fun

6-2/ Limite d’une suite de la forme vn=fun

VII- Suites adjacentes

 


VI- suites de la forme un+1=fun et vn=fun

 

6-1/ Suite de la forme un+1=fun

Proposition 12

Soit f une fonction continue sur un intervalle I telle que fII.

Soit unnn0 une suite réelle définie par un0I et nn0 un+1=fun.

Si unnn0 est convergente de limite l  alors l est solution de l'équation fx=x.

 


VI- suites de la forme un+1=fun et vn=fun

 

6-2/ Limite d’une suite de la forme vn=fun

Proposition 13

Si une suite un est convergente vers l et f est une fonction continue en l, alors la suite vn définie par vn=fun est convergente et sa limite est fl.

 


VI- suites de la forme un+1=fun et vn=fun

 

6-2/ Limite d’une suite de la forme vn=fun

Applications

Déterminer les limites des suites définies par :

1 un=24n4-n+13n4-n2+732 vn=16n3-3n+12n2+14

 


VII- Suites adjacentes

 

Définition 8

On dit que deux suites numériques un et vn sont adjacentes si une est croissante, l’autre est décroissante et limn+vn-un=0.

 


VII- Suites adjacentes

 

Applications

On considère les suites numériques un et vn définies par un=k=0n1k! et vn=un+1n!.

  • Montrer que les suites un et vn sont adjacentes.

 


VII- Suites adjacentes

 

Proposition 14

Si un et vn sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et ont la même limite.


VII- Suites adjacentes

 

Applications

Soit a et b deux réels strictement positifs tels que a<b.

On considère les suites un et vn définies par :

u0=aun+1=2unvnun+vn, nv0=bvn+1=un+vn2, n

  1. Montrer par récurrence que pour tout n : unvn
  1. Montrer que la suite un est croissante et que vn est décroissante.
  1. Montrer que pour tout n : vn+1-un+112vn-un
  1. En déduire que les suites un et vn sont adjacentes.
  1. Montrer que la suite unvn est constante, et en déduire la limite commune des suites un et vn.

 


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